1.2.2 概率的几何定义
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型 定义：若随机试验的样本空间是某个区域（可以是一维，也可以是二维或三维），每个样本点等可能地出现，事件A包含 的一部分区域，则随机事件A发生的概率定义为
A的几何度量m(A) P(A)???的几何度量m(?)
其中， m(A)和 m(?) 分别为? 和A的几何度量（如长度、面积或体积等）。用上述方法算得的概率称为几何概率，该数学模型称为几何概型。
几何概型的计算 ① 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间 [2 , 3] 上的概率。
② 会面问题
甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。
解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则
布丰的投针试验
公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。
试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其中与平行线相交的有704
次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似值！” 众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”
几何概型的计算：布丰投针问题
设平面上画着一些有相等距离2a（a>0）的平行线，向此平面上投一枚质地匀称的长为2l（l
解 设针的中点离较近直线的距离为d，针与较近直线的交角为θ。则d与θ的可取值为 0
lsin?d?2l0 P(A)???a?a
d
?
a
l 2a
d
θ π θ
1.2.3 概率的统计定义
无论是概率的古典定义还是几何定义均要求随机试验的基本事件出现的可能性相同，但实际中会常常遇到一些不满足该条件的事件的求概率问题，为此，我们将介绍一种新的概率定义。 例如：
1.掷一枚不均匀硬币计算正面或反面出现的概率； 2.一条流水生产线上产品的次品率。 1.频率
在观察某一随机事件时，如果在相同条件下进行n次重复试验（或观察），事件A出现
kkfn(A)?n，其中k称为事件A发生的频数。了k次，则称n为事件A发生的频率，记为
2.概率的统计定义
在相同的条件下，重复进行n次试验，当试验次数n逐渐增加时，事件A发生的频率越来越稳定地在某个确定的常数p附近摆动，则称数p为事件A发生的概率，记为 P(A)? 抛掷硬币的试验
p
程序模拟
抛掷硬币模拟试验
再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如表1-2：
从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.
概率与频率的区别：
从概率的统计定义可以知道，当试验次数很大时，我们可以近似的将频率看成是概率，但频率和概率是两个不同的概念。一个事件发生的概率完全是由事件本身的内在结构所决定的，并不取决于试验或观察，它是先于试验或观察，并客观存在的，而频率是进行试验或观察后才能得到的。 1.2.4概率的公理化定义
利用概率的统计定义我们可以得到概率的近似值，但我们不可能对每一个事件都做大量的试验，然后求得概率，因此，有必要给出概率的严格定义，即概率的公理化定义。 定义：设E是一个随机试验， 为它的样本空间，若对E的每一个事件A规定一个实数P(A)与之相对应，并且这种规定满足下列三条公理： (1)非负性：对每一个事件A，有P(A)?0
(2)正则性：P(?)?1
(3)可列可加性：若A，A2，...是两两互不相容的事件，则有1
?? P(?Ai)??P(Ai)i?1 i?1则P(A)称为事件A的概率。
练一练：一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有4人在第8层下}。
........................... 思考题：
1、 从五双大小型号不同的鞋子中任意抽取四只，问能凑成两双的概率是多少？ 2解：设“能凑成两双鞋”为事件A ，总的基本事件数： C 4 有利事件数： 5102 C51?所以，所求概率为 P(A)?4C1021C 思考题：
C2， 一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？
解 以A为起点，逆时针方向为正， B至A的曲线距离为x，C至A的 曲线距离为y，则 0?x,y?2?r?ABC为锐角三角形
或
r O B
?0?x??r???r?y??r?x??r?x?2?r??x??r?y??rA
xP(A)?所求概率为
直角三角形？钝角三角形？？
2?r
3，掷两颗骰子，求事件“至少有一颗出现6点”，“点数之和为8”的概率。
2解 总的基本事件数为 6 ? 36
11C2C5?1?11 事件A“至少出现一个6点”所包含的基本事件数为
事件B“点数之和为8”所包含的样本点为 ?(2,6),(3,5),(4,4),(6,2),(5,3)?115所以
P(A)? , P(B)?3636
S(A)1?S(?)42?r?r?r4， 包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？
解 总的基本事件数为 10! ， 811PCC排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 892排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P8C1C1?P8C189282 12P(1)?,P(2)?所求概率为 59
1.3 概率的性质 （1）（非负性）对任何事件A，有 0?P(A)?1（2）（规范性） P(?)?1（3）（有限可加性）若A,B是互不相容事件，即AB??则：P(A?B)?P(A)?P(B) 证明： 推广：若
?A1,A2,...An是两两互不相容的事件，则有：
BAP(A1?A2?...?An)?P(A1)?P(A2)?...?P(An)
P(?Ai)??P(Ai)i?1i?1nn即：
注：这条性质是概率公理化定义第三条公理的特殊情况。 （4）不可能事件的概率为零 P(?)?0注：但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ。
例如：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。 （5）对任何事件A,B，有P(A?B)?P(A)?P(AB) 证明：
推论1：对任何事件A，有P(A)?1?P(A) 证明：
①
②
? ABP(A)?P(??A)?P(?)?P(A?)?P(?)?P(A)?1?P(A)A推论2：若 A ? B，则 P (B － A) = P(B) － P(A) 证明：
B
推论3：若A?B ，则有P(A)?P(B) （6）加法定理
对任意两个随机事件Ａ、Ｂ ，有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)证明：
P(A?B)?P(A?(B?AB))
?P(A)?P(B?AB)
P(B?AB)?P(B)?P(AB) AB?A?(B?A)ABA?B?A?(B?AB)
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