第二节 一元离散随机变量 2.2.1 离散型随机变量的分布律
p?设离散型随机变量 X 的所有可能取值是 x 1 , x , x n , ? ，而取值 k 的概率为 k2 ,
即 PX?xk?pk
称此式为X的分布律（列）或概率分布（Probability distribution) 分布律确定概率
X -1 1 2 例 设X的分布律为 P 1/3 1/2 1/6 求 P(0 解：P(0 例1 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解：X的可能取值为 0，1，2 ??x故 X的分布律为 1363p k 190190190而“至少抽得一件次品”={X≥1}= {X=1}?{X=2} {注意：{X=1}与{X=2}是互不相容的！} 35427故：P{X≥1}= P{X=1}+P{X=2} 51????19019019095 实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了 例：从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。 解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,? 则 Ai , i=1,2,3,? 是相互独立的！ 且( X=k )对应着事件 12k?1kX的所有可能取值为 1，2，3，? ,k,? P(X=k)= P 1 A 2 ? A k ? 1 A k ) ? (1-p)k-1p ,k=1,2,? ( A 2P?X?k??b()k,k?1,2,3,?例：设随机变量X的分布律为 3 试确定常数b. 解：由分布律的性质,有 22b??12k 33b?.P(X?k)??b()??b?2b?1?231 k?1k?121?33 2.2.2 随机变量的分布函数Distribution Function 分布函数的定义 设X为一随机变量,则对任意实数x，(X 1 2 X 0 51 AA?AAF(x)?P(X?x)分布函数表示事件的概率 引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。 P（X P（X≥b）=1﹣ P（X P（a≤X ? F(x)?P{X?x}??56 (0?x?1)? ?1112 (1?x?2)? ??1 (x?2) 分布函数的性质 F(x)是单调不减函数 若x1?x2 F(x)处处左连续 12 0≤ F(x) ≤1, 且 F(x?0)?F(x) F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1x???x??? F(??)?P{X???} 不可能事件 F(??)?P{X???} 必然事件 分布函数 F(x)的图形 F(x)是单调不减函数 问一问 是不是某一随机变量的分布函数？ 1 F(x)?2不是 ，因为 1 ? x ， 函数 ? 1 可作为分布函数 (x?0)? limF(x)?0G(x)??1?x2x??? ?? 1 (x?0)2.2.3几种常见的离散型分布 一、二项分布 1.概念：在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数, 则X可能的取值为0,1,2,3,?,n. kP{X?k}?Cnpk(1?p)n?k2.随机变量X的分布律 k?0,1,2...,n; 其中0< p <1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布(也称Bernoulli 分布）,记为X～B( n, p) F(x)?F(x)例： 从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率. 解：有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验。 A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, n=5 p=1/4 记X为共抽到的次品数，则 X~B(5,1)4 25?211????2 P{X?2}?C5???1????4??4?? 例：一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。 解：X～B（10, 0.9） 882(1) P(X=8)= C100.9?0.1?0.1937 ( 2 ) P(x ? 8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) 8910?C100.98?0.12?C100.99?0.1?C100.910 ?0.9298 2.二项分布最可能取值 在参数为n，p的二项分布中，随机变量X的取值概率是由小到大然后由大到小的变化，下面讨论k取什么值时二项分布的值最大。 ?P{X?k0}?P{X?k0?1}?P{X?k0}?P{X?k0?1}P{X?k}0最大，则需：?若 ?k0?(n?1)p?k?(n?1)p?1解得：?0 ?(n?1)p,(n?1)p?1 若(n?1)p为整数 k0??k?[(n?1)p] 若(n?1)p不是整数 所以0 的取值有如下的情况： 例：某新产品试验成功的概率为0.7，若独立试验10次，问10次试验中恰有8次成功的概率是多少？最有可能成功几次？ 解：X={试验成功的次数}X～B(10,0.7) 二、0-1分布(二点分布 ) 定义：对于二项分布X～B(n,p)，当n=1时，二项分布化为： P{X?k}?pk(1?p)1?k k?0,1 则称其服从参数为p(0 ②0-1分布的分布表为：②0-1分布的分布表为： △背景：样本空间只有两个样本点的情况，都可以用两点分布来描述。 例如：抛掷一枚均匀硬币一次，设X表示正面向上。X～B(1,0.5) 例：设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机 抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代 表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的 值是一个离散型随机变量 3其概率分布为 P ( X ? ( X ? 0) ? 7 即X服从两点分布。 1)? P1010 三、泊松分布 Poisson distribution ?k??e 定义：若离散型随机变量 X 的分布律为: P(X?k)??1X???0（取得红球）（取得白球）k!,k?0,1,2...其中?? >0, 则称X服从参数为??的泊松分布。记为：X～P(??) 泊松分布的背景。泊松分布常见于所谓的稠密性问题，例如： 服务台在某时间段内接待的服务次数X 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布 例：已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从? ? 4 的泊松分布，分别 求（1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率；（2）每分钟不超过4次 例：已知一本书上每页中印刷错误的个数X服从参数为λ的泊松分布，且每页中有1个错误的概率是有2个错误概率的2倍。求（1）参数λ，（2）在该书中任意指定的一页中至少有2个错误的概率。（3）在该书中任意抽查4页均没有发现错误的概率。 解： ?k??P(X?k)?e k! 例：由商店的销售记录知，某商品的月销售量X（单位：件）服从λ=5的泊松分布。为能以95%以上的概率保证不脱销，问在无库存的情况下月底应进货多少件？ 解：设月底进货量为Q件，则应使：P{X?Q}?0.95 四、二项分布的泊松近似 泊松定理 设随机变量 X～B(n,pn)，0?pn?1（与实验总数N有关） ，并且 limnpn???0n?? ，则对任意非负整数k，有： knknn?klimP{X?k}?limCp(1?pn)n??n????kk!e?? 实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式 也即： 当n较大而p又较小时（一般n?10 ，p?0.1），我们就可以用泊松定理来近似计算二项分布相关的概率。 k kkn?k?? 其中，λ=np n 例：已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？ 解：设该单位患有这一种疾病的人数为X，则 例：设某项工程需用100个合格的元件，已知从市场买回这种元件的废品率是p=0.01，若只买回100个，恐怕实际上不够用。为此，就必须买回100+a个，希望在这100+a个元件中至少有100个合格品的概率不小于0.95，问a至少要多大？ 解：设X表示买回的100+a个元件中的废品数X～B(100+a,0.01) Cp(1?p)??k!e需求：P{X?a}?0.95 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库概率论(7)在线全文阅读。
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