一元函数积分学练习题[1](6)

数学

1）y ex (0 x 2)；

1

（2）y (ex e x)（ 1 x 1）； x

222

（3）x a(cost tsint)，y a(sint tcost)（a 0，0 t 2 ）；

（4）r a （a 0,0 2 ）。

11. 求下列曲线在指定点的曲率和曲率半径： （1）y x2，在点(1,1)；

（2）x 3t2,y 2t3，在t 1对应的点。 12. 求下列曲线的曲率和曲率半径：

1

（1） y x （x 0）；

x

（2） y x3 3x； （3） r a （a 0）；

（4） x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0）。

13. 求曲线y lnx上曲率最大的点，并求出该点的曲率圆方程。 14．求下列旋转曲面的面积：

（1）y sinx（0 x ）绕x轴旋转一周生成的曲面；

（2） 旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2π）绕x轴一周生成的曲面；

（3）双扭线r2 a2cos2 绕极轴产生的曲面。

15. 过点(1,0)作曲线y x 2的切线，求曲线y x 2与该切线，以及x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

16．有一等腰三角形薄板，底边长为a，高为h米，薄板垂直倒立于水中，底边与水平面相齐。求水对薄板的侧压力。

17．设有一半径为R、高为H的均匀圆柱体平放在水深为2R的水池中（即圆柱体的侧面与水面相切），圆柱体的密度为 ，现将圆柱体抬出水面，需作多少功？（设水的密度为1）

18．设有一均匀的半径为r的圆形薄片，其面积为S。在圆心的正上方有一个单位质点，质点到圆心的距离为a。 （1）求薄片的边界对该质点的引力； （2）求薄片对该质点的引力；

（3）如果圆心的正上方有一条长为l、质量为m的均匀细杆垂直于薄片，下端距圆心为a，求薄片对细杆的引力。

§5 反常积分

1．计算下列无穷限的反常积分： （1）

2

1

；

(x 1)(x 2)

（2）

0

x 1

dx； 2

(x 1)(x 1)

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