一元函数积分学练习题[1]

数学

§1 定积分的概念、性质和微积分基本定理

1. 试用定积分表示下列各个极限：

1n3

（1）lim4 k；

n nk 1

1nk

（3）lim ；

22n nk 1n k2. 证明下列不等式： 1

1dx （1） 2dx ；

0261 x315

（2）2 1 x6dx 。

12

3．计算下列导数：

dtan2x

t2dt； （1） dx0

4. 求下列极限： （1）lim

x 0

1nnk

（2）lim 2； 2n nk 1n k

1

（4）limn(n 1)(n 2) (2n)。

n n

dln(1 x)

ln(1 t2)dt。 （2） dx x

x0

sintdt

；

（2）lim

x 0

2

sin2x0

(e 1)dt

t2

xln(1 x)

5. 计算下列定积分：

2

x2sinx

。

（1） 4sin2xdx；

（2）

20

cosx

dx；

1 sinx

（3）

10

xdx x2

；

（4） (1 lnx)dx。

1

e

a 1

6. 设函数f在 ,a 上非负连续（a 0），且 1xf(x)dx 0，证明：

a a

a 1

a

xf(x)dx

1 1

2

a1a

f(x)dx。

7. 设函数f在[ 1,1]上非负连续，且 xf(x)dx 0。证明：

1 1

x2f(x)dx f(x)dx。

1

1

8. 设f在[0, )上连续递增，证明：对于任意给定的b a 0，成立

ba1 b

b f(x)dx a f(x)dx 。 axf(x)dx 2 0 0

bbdx

9. 设函数f在[a,b]上连续，且f(x) 0。证明： f(x)dx (b a)2。

aaf(x)

10．设函数f在[a,b]上导数连续，且f(a) f(b) 0，f (x) 4。证明：

4(b a)2

ba

f(x)dx maxf (x)。

a x b

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