一元函数积分学练习题[1](2)

数学

．设函数f在[0,1]上导数连续，且f(0) f(1) 0。证明

11122

f(x)dx [f(x)]dx。 0

4 0

12．设函数f在[0,1]上连续， f(x)dx 0， xf(x)dx 1，证明：

1

1

（1）存在a [0,1]，使得 f(a) 4； （2）存在b [0,1]，使得 f(b) 4。

13. 设函数f在[ a,a]上非负连续(a 0)，且

a a

a

f(x)dx x2f(x)dx 1，

a

a a

xf(x)dx 0。证明：对于任意给定的u [ a,0]，成立

u a

f(x)dx

1

。 2

1 u

§2 不定积分的计算

1．计算下列不定积分： （1） 2x3 xdx; （3）

（2） (x2 x 1)xdx; （4） （6） （2） （4）

3

(x 1）

dx; 2

xx3(cos2 )dx。 2

21 x

(1 x) 11 x

2

2

32

dx;

（5） tanx(tanx secx)dx; 2．计算下列不定积分：

xdx

; （1）

2x2 5(x 1)dx

; （3） 2

x 4ex 1

（5） dx; x

1 3e

2

（7） x 2sin;

xdx

; （9） 2x

e 1sin2x

dx; （11） 2

4 sinxx 1

（13） dx;

x(x lnx)（15）

4x 3

dx;

x2 2x 2arcsinx

； 2

1 x

（6） x1 x2dx; （8）

dx

;

sinxcosx

xdx

（10） （12） （14）

x 1 xdx

x

2

2

;

;

4x 11

dx;

x(x3 1)

dxx x 1

;

（16）

x 11 x

dx。

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