一元函数积分学练习题[1](5)

数学

．设函数f，g在[a,b]上连续，且g(x) 0。证明：存在 (a,b)，使得

baba

f(x)dx

g(x)dx

f( )

。 g( )

10．设函数f在[0,1]上具有二阶连续导数，且f(0) f(1) 0。证明：

111

（1） f(x)dx x(x 1)f (x)dx；

02011

max|f (x)|。 （2） f(x)dx

0120 x 1

11．设函数f在[0,1]上二阶导数连续，且f (0) f (1) 0，证明存在x0 (0,1)，使得

1f(0) f(1)f (x0)

。 f(x)dx 0

26

2

12．设函数f在[0, ]上连续，证明：lim |sinnx|f(x)dx f(x)dx。

x 0 013. 设函数f在[a,b]上二阶可导，f (x) 0，f(a) f(b) 0，且有x0 (a,b)，使y0 f(x0) 0，f (x0) 0。证明：

（1）存在x1 (a,x0)和x2 (x0,b)，使得f(x1) f(x2) （2） f(x)dx y0(x2 x1)。

ab

y0

； 2

§4 定积分的应用

1．求抛物线y x2与直线y 2x 3所围图形的面积。

1

2．求由曲线y x2，y x2和直线y = 1所围图形的面积。

4

3．求旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2 ）与x轴所围图形的面积。

4．求r 2cos 与r 2sin 所围公共部分图形的面积。 5. 求r 1 cos 与r 3cos 所围公共部分图形的面积。

6．求由圆盘(x 2)2 (y 3)2 1分别绕x轴和y轴旋转一周，所得旋转体的体积。

7. 求旋轮线x a(t sint)，y a(1 cost)（a 0，0 t 2π）与x轴所围图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。

8．求r 1 cos 所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体体积。

9．求抛物线y2 4ax(a 0)与过焦点的弦所围图形的面积的最小值，并求出这时的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 10．求下列曲线段的弧长：

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