非线性理论论文(9)

混沌现象,非线性系统,混沌神经网络,matlab仿真,混沌吸引子

lim

n

1n

x0 y0 0

ln

xn ynx0 y0

当系统由微分方程描述时，同样可以用Lyapunov指数来表示流的散开程度。设系统的微分方程为

dxdt

n

f(x) x R

选系统两条起始点无限接近的轨线 t(x0)， t(x0 x0)，我们称 t(x0)为基准轨线， t(x0 x0)为邻近轨线。记w(x0,t)= t(x0 x0)- t(x0),则当w(x0,t)充分小时，w(x0,t)满足线性化方程

dwdt

Df(x0)w

此时两条邻近轨线沿w方向的平均指数发散率为 (x0,w) lim

n

1t

w(x0,0) 0

lim

ln

w(x0,t)w(x0,0)

在相空间中，W的全体张成一个随轨线运动的n维空间，称为切空间。选择该空间的一组基底{ei,i 1,2, ,n}，对每个基底矢量ei，可以确定n个数值

(x0,ei)(i 1,2, ,n)，并将这些数值由大到小排列为

1 2 n 称为系统的Lyapunov指数。

Lyapunov指数为正数时，表示轨线在对应方向上具有发散的趋势，而Lyapunov指数为负时，表示轨线在对应方向上是收缩的。如果所有的Lyapunov指数均为负数，轨线在各个方向上都是收缩的，则轨线将趋近于一个平衡点。如果有一个Lyapunov指数为0，而其余的Lyapunov指数均为负，则轨线将趋于一个极限环。如果存在正的Lyapunov指数，则系统有可能做混沌运动（如果还能断定轨线在有界范围内运动，并且在某些方向上具有收缩的特性，则可以断定系统在做混沌运动）。

文献[6]中，提出了一种利用周期轨道不同权重计算Lyapunov指数的算法，对混沌序列的周期轨道进行统计并计算不同的周期轨道的Lyapunov指数，依据周期轨道的权重加权求和得到整个混沌吸引子的平均Lyapunov指数。

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