非线性理论论文(3)

混沌现象,非线性系统,混沌神经网络,matlab仿真,混沌吸引子

下面要对每一个点

x0 [0,1]

，弄清楚

0(x0)

的性态，显见0(0) {0,0,0 }，

0(1) {1,0,0 }，对于x0 (0,1)，将它表为2进制小数：

x0

k 1

ak2

k

(0.a1a2a3)2,ak {0,1}

有定义可知，如果记k 1 ak，则

(0.a2a3a4a5 )2,a1 0

f(x0)

(0.234 )2,a1 1

由此表达式可知x0 (0,1)的轨道有下列几种情况：

xx (0.a1a2 ak111 )2

（1） 若x0 (0.a1a2a3 ak000 )2或0，即0为有理数，

且用真分数表示时，其分母是2，则至多经过m+1次迭代后为零，即

xn 0(n m 1)

m

。

x0 (0.b1 bma1a2 aka1a2 ak )2

（2） 若 ，即

x0

的二进制展开中，除前

面有限项外，后面的项呈周期出现，亦即

x0

是有理数，且其真分数表示中，分母

含有非2的因子，则经过有限次迭代后，迭代序列也将出现循环。

（3） 若

x0

的二进制展开中永远不产生循环，即

x0

为无理数，则

x0

的轨道

永远不会趋于零，也永远不会产生循环，而貌似无规则的序列。

由此例可以看出，即使这样一个简单的映射所确定的动力系统，其动力学特征却并不简单，它有许多有规律的轨道，也有许多无规律可循的轨道。事实上： 1.周期点无穷多，在[0,1]上稠密。

显见对任意自然数n，均有n_周期点，从而有无穷多个周期点，此外，在[0,1]上任取一点(0.a1a2a3 ak )2，选择m，使得

12

m

充分小，另取

0 (0.a1a2 ama1a2 am )2, ~ ~~~~~~x0 (0.a1a2 ama1a2 am a1a2 ama1a2 am )2,

x0中至少有一个周期不超过m的周期点，而且x0 0 则0,~

1~,x x ,00mm

22

1

即周期点在[0,1]上稠。

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