第五章 设计一个合理的教学(7)

在教学中可以就一个问题情境提供多种形式，甚至相互间有冲突的信息，以培养学生在复杂情况下作出理智选择与判断的能力。

课例 做数学能力的培养

证明一个又一个现成的数学结论，这固然重要，但囿于结论已定，可供研究的领域就小。能否在一个问题的基础上，给读者以自由想象的时间和空间，用以提高研究能力？下面是 “师生互动”方式的一个教学实例。

问题一 P是正⊿ABC内任意一点，P到三角形三边距离之和为S，证明：S的值与点P的位置无关。

这是你已证过的问题，只不过在叙述上略有改变，它是说，当P点在⊿ABC内运动时，S的值不变——始终为三角形一边上的高这个常量，或者说，S的值不受P点位置的影响。

如果P点运动到正三角形的周界上，S的值仍然不变吗？ 学生：不变。S的值仍旧等于高h。

师：如果P点越出三角形，点P到三角形三边距离之和S还是不变吗？ 生：（脱口而出）变了，P点越远，S的值越大。 师：“P点越远”何所指？ 生：??

师：点到直线的距离有远近之分，点到点的距离有远近之分，点到正三角形的距离是否也有远近之分？——这是我们前所未闻的概念。

生：P点到正三角形中心点O的距离有远近之分，我们能否用P点到O点的距离来规定P点到正三角形的距离呢？

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将正三角形退缩为一点，想法合理，这项建议立得公认，于是问题可以继续研究下去。

问题二 P点在⊿ABC的外部，P点到⊿ABC中心点O越远，则P点到⊿ABC三边距离之和越大吗？

学生：凭直觉，我猜想OP越大，和S越大。

师：我对这个猜想是持怀疑态度的（大出学生意料之外！）

教师不支持学生的“猜想”，这并不是坏事，因为，科学是来不得半点虚假的。果然，下次上课前就有几为学生“倾向”教师一边，他们举出反例：

反例之一 设?ABC是单位圆O的内接正三角形（图1），AO的延长线交BC于M，交圆O于P1，AB的延长线交过P1的切线于P1，则AB=3，A P2=

AP1cos30?=

43。

AOBP2MP1CP3D 图1

S1与S2分别是点P1、P2到三角形的三边距离之和，则 S1=P1B+P1C+P1M

1252 =1+1+=；

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S2=0+APsin60°+

12=

43·

32+

12=

52。

得结论：尽管P1O?P2O，但S1= S2。 反例之二 （续上例并参考图1）

1?1?1AC延长线交过P1点的切线于D，P3是CD的中点，则AP3?24?7 ?cos3023,所以 S3?AP3?sin60??14?74,

于是又得结论：尽管P1O?P3O，但S1＞S3。

再把这两个反例放在一起，得到P1O?P3O?P2O, 而 S1= S2＞S3

的现象！这又说明“猜想”不成立。

教师：“问题二”虽然解决，但“和S的不变性”却被三角形外部的点破坏了，这不能说不是一件憾事！能否变“憾事”为“快事”呢？或者说，在某种规定下，仍旧保持“和S的不变性”呢？这是我们进一步研究的问题。

学生：（全神贯注）

教师：许多问题在小学的算术数内很难研究，一旦进入有理数，数有正负之分以后，有些问题研究起来就方便多了，例如，算术中的减法性质完全可以由加法性质来代替。

点到直线的距离本无正负之分，如果我们改变这个习惯，使得点到直线的距离也有正负之分，“问题二”能否再研究下去呢？——当然，我们的目标使要保持“和S的不变性”，如果这个目标能实现，那么这种“不变”的和谐性正是数学内部的美的一种表现，当然，要挖掘这种内部美是要花费一点气力的。

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学生：（全神贯注，心向往之，谁不渴望美的享受呢？）

教师：问题的关键是引入距离的正负。正?ABC的三边所在直线将平面分成7个区域（图2），这7个区域有三种类型：如图的1、2、3，相应的周界边也包括在内。

3A1B2C

图2 我们做如下规定：

（1） 如果P点在区域1内，则P点到三边距离都是正量；

（2） 如果P点在区域2内，则P点到直线AB与直线AC的距离为正量，

而到直线BC的距离为负量；

（3） 如果P点在区域3内，则P点到直线AB与直线AC的距离为负量，

而到直线BC的距离为正量。

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ABP 图3 在上述规定下，我们可得：

C 结论 设P是正?ABC所在平面内的任意一点，那么P到三角形各边距离之和为常量（正三角形的高h）。

现就区域2的点P证明如下：连结AP、BP、CP，设?ABC的边长为l，高为h面积为△，则

△ =?PAB的面积+?PCA的面积-?PBC的面积，

112即 lh?2l(|hAB|?|hCA|?|hBC|)或h?|hAB|?|hCA|?|hBC|

∵hAB,hCA为正量，hBC为负量 ∴h=hAB+hCA+hBC

即P点到三边距离之和为常量h。 同法可证区域3的情况。

本来，问题写到这里就可以结束，但

教师：如果将“问题”中的正三角形换成正四边形、正五边行、正六边行、??，相应的“问题”又将如何呢？

??

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