第五章 设计一个合理的教学(2)

y ⑧ 提示学生反思上述分析问题的过程，思考：还能提出什么问题？ 这里可以产生许多新的问题，如： 任意给定一个正三角形，是否存在另一个正三角形，使得它的周长和面积分别是已知正三角形周长和面积的2倍？一半？

任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，使得它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？1/3倍？

对于面积为1的矩形来说，它的周长最小是多少——凡是周长要求小于这个值的矩形都是不存在的；或者，对于周长为3的矩形来说，它的面积最大是多少——凡是面积要求大于这个值的矩形也都是不存在的。

课例分析：显然，这个研究课题对学生具有较强的吸引力：一方面，它与学生的直观多半形成冲突，从而造成一种“悬念” ——究竟解是什么？另一方面，对它的求解很容易“上手”，每一个学生都可以独立进入求解程序，但最终解决还是有一定难度的，这就又造成了一个“悬念”——究竟这么解？

除此以外，这个课题的解决过程牵涉到许多重要的数学思维方式——采用归纳的方式来形成一个猜想，进而用正例来加强对猜想的肯定程度，或用反例来否定猜想的正确性；采用不同的语言（几何与代数）去表述同一个问题（现象），

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O这有助于对问题的理解、也有助于体会不同知识之间的联系。而且在具体的求解过程中，学生需要有较强的基础知识和基本技能——对命题条件与结论的理解；构造与证明命题的基本方法等。 课例：对称 ⑴ 教学目标：

① 让学生经历从图形的“对称”到代数式的“对等”的认识过程，从本质上理解“对称”观念的意义。

② 帮助学生初步掌握分析图形中的对称关系，代数对象中的对等关系的基本方法。

③ 让学生尝试运用“对称”观念解决问题的过程，发展其解决问题的能力。 ⑵ 设计意图

“对称“是一个基本的数学观念——不但在许多几何图形里可以见到它，

在代数表达式里也能够把握到它。甚至在生活中也可以看到它的应用。当我们找到了不同数学对象之间存在的对称关系以后，往往就把握了

这两者之间的实质性联系，甚至可以在“对称”的意义下把它们视为同一

个对象。学生对于“对称”的理解应当有一个递进的过程——从直观的图形对称，到抽象的代数“对等”。

⑶ 教学过程

① 师： 画一条线段，将正方形ABCD分为两个全等的部分。 （这个问题非常简单，每一个学生都可以解决——画出四条符合要求的线段（图1）。

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BPAO师：还有别的线段符合要求吗？ 分析一下上面的答案，图1的四条线段都符合要求，

CQD表明它们一定具备一个共性。是什么呢？从图1中不难发现，这个共性就是：它们都经过该正方形的中心O。如果要寻找满足题目要求的其他线段，恐怕应该先从过正方形中心的线段入手。大家可以试一试。

学生活动。

（如图2，PQ过正方形的中心O，那么，PA=QC, BP=DQ于是，可以说

明两个梯形APQD与CQPB全等了。） ② 师：这样一来，你发现什么了——原来我们可以画无数条线段，

只要它们过正方形的中心O，都可以把正方形ABCD分为两个全等的部分！

反过来呢？请大家叙述自己的结论，并给出证明。 （满足题目要求的线段一定过正方形的中心O。证明略） 学生活动。

③ 师：看起来这个中心O是本题的一个关键点。事实上，它也是正方形中的一个非常特殊的点，我们把它叫做正方形的对称中心。过对称中心的任一直线将正方形分成两个全等的部分；过对称中心的任一直线与正方形的交点都是对称点——相对于对称中心而言，它们的地位相当（称为对等）。正方形也就是中心对称的图形。正方形的这种“对称性”常常可以被我们用来巧妙地解决问题。

例1． 有两个全等的正方形ABCD和MNPQ，A在MNPU的中心，直线AD和MN相交于MN的

14处，图3。问：两个正方形的重叠部分的面积是多少？

分析：正方形MNPQ的对称中心A的特点并没有充分地表现出来，不妨延长BA，DA与PN ，PQ 分别交于S，T后，可知正方形MNPQ被分为四个全等的部分。

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于是，其重叠部分的面积是正方形的。

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UMD

PANCB （图3）

这个求解过程还表明：AD和MN相交于何处乃是虚晃一枪，并不影响问题的结论。

④ 师：还有哪些图形是中心对称图形？你能得到什么样的结论？ （学生活动）

师：首先关注正多边形，你们是怎样思考的？

（学生交流思考方法和结论：正偶数边形是中心对称图形，而正奇数边形不是。）

师：从上面的讨论可以看出：正三角形也具有某种“对称性”——过一条边上的中线，可以把它分成全等的两个部分。这样的图形叫做“轴对称”图形——存在一条直线，把该图形分成全等的两个部分。这条直线叫做对称轴。轴对称图形只有与对称轴垂直的直线与图形的交点才是对等的。其它的正奇数边形呢？大家可以猜一猜。

（学生可以猜到：所有的正奇数边形都是轴对称图形）

⑤ 师：我们能够得到的结论是：正奇数边形都是轴对称图形，正偶数边形都是中心对称图形。而中心对称图形又显然是轴对称图形。因此，从对称的意义上来看，中心对称图形更完美一些。

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那么，除去正偶数边形，还有没有中心对称图形了？想一想我们熟悉的图形。 （矩形、菱形、平行四边形和圆都是！）

⑥ 对称性质的应用

图形的对称性通常表现为上述点或直线之间的“对等”性。而这种对等性又可以给我们的解题带来很多启发。

例2．在一切周长相等的三角形中，以什么三角形的面积最大？

分析：这个面积最大的三角形一定具有某种特点。从边长的角度来看，根据三角形面积的海伦公式

S=p(p-a)(p-b)(p-c)

我们发现，在形成面积时，三边是对等的——没有理由去突出哪一条边。因此可以想象：以正三角形的面积为最大。

类似地，在周长相等的四边形中，哪一种四边形的面积最大？ （按照上面的分析思路，我们可以知道，以正方形的面积为最大。） 事实上，我们可以得到哪些合理的猜想？

（在周长相等的所有n边形中，以正n边形的面积为最大； 在周长相等的所有封闭平面曲线中，以圆所围的面积最大——圆是最“对称”的图形：相对于圆心（也是对称中心）而言，圆周上的任何一点都是对等的。）

在我们所遇到的问题中，更多的情况是解题所需要的对称性并没有明显地表露出来，而要靠我们领悟和揭示。

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