第五章 设计一个合理的教学(6)

? 线段的相等 平行四边形对边 四对

全等三角形对应边 五对（不重复计算）

ＡＰ=ＰＯ＝ＱＣ 线段成比例

MPBQ?NQDP?MPDP?NQBQ?12

? 面积的比例关系（如图２）

Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ＝1：2：3 Ⅰ：SABCD=1:12

③ 对上述学生各自独立作答的结论，组织同学讨论（必要时可重复类似的过程，以便将问题逐步引向深人）。其中，为提高学生的观察能力，对于有多个答案的问题（如内错角相等）应力求将全部答案列出。

④ 收集学生作答的情况，进行分类统计，分析不同结论之间的数学关系．

戴再平

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课例分析：怎样上复习课？这是一个老的话题，答案多种多样。可以肯定的是：复习不一定非要采用“教师讲解知识框架、学生记忆解题方法”的形式（实际上，这样的形式有很多弊病）。如何有效地进行平面几何基本知识的复习，本教案提供了一种全新的教学模式．设计者没有采用罗列概念定理，分析典型题目的方式，而是直接提出一个常见的几何问题，题目是开放性的，不是计算或求证某个结论，学生可根据自己已有的水平，通过观察、推理，得到许多结论．有利于学生回顾自己学得的知识．在此基础上，通过学生个别回答，师生共同补充讨论每个学生都能在原有的水平上获得提高．在此过程中，学生的观察能力得到发展，分析问题、解决问题也得到发展。而且，创造能力也得到一定的发挥．其复习效果是十分明显的．特别是，在这样的教学活动中，无论基础好坏，每个学生都有事做，都有所得．通过讨论，能很好地促进学生的合作交流能力，而这正是现代教育对数学教育的要求．

⑷ 问题解决的教学 课例：直觉 猜想 证明1

师：问题 若y=f(x)， 且 f(ab)=f(a)+f(b) (1)

ab 求证： f(

ab)=f(a)—f(b) (2)

生1（证明）： 视

ab=A， 则 a=bA， 由(1): f(a)=f(bA)=f(A)+f(b)

所以， f()=f(a)+f(b)。

师：证明已经完成。但我希望大家再仔细地看一看这个函数f(x)，是否有似曾相识的感觉？

（让学生经历解题后的评价或反思的活动。而较为“一般化”的问题有助于学生广开思路）

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学生： ??？

师：注意一下a与b之间的运算关系的变化?

（学生一时不能把握住想象的线索，可以适当明确思考的主线）。 生（几个）：原先是a与b相乘，后来变成了f(a)与f(b)相加。那不是对数函数吗？

师：有什么联想？

生2：由（2）的证明过程可以得到“两个数商的对数运算公式”（即logamn=logam—logan）的另外一种证明方法：

mnmn因为：loga m=loga(

mnn)=loga+logan，

所以loga=loga m—logan。

（这里，若学生没有很快发现这一点，教师可以给予适当的提示——（1）式与（2）式各表明了什么样的对数运算等）

师：还有没有其它的函数满足性质（1）？ 生（几个）：好象没有了。

师：因此我们可以得到一个猜想是?

生2：符合性质（1）的函数一定是对数函数。 师：可以肯定吗？（很自然地诱导出对证明的需求）

生2：差不多。比如，在（1）中令：a=b=1， 得到 f(1)=f(1)+f(1)， 即 f(1)=0。 而 loga1=0。

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生3：不过对数函数的定义域是x>0，而这里的函数f(x)可以取任意值。比如，取a=0，则f(x) =0（是常数函数而不是对数函数！）。

生4：还可以取a=b=-1，由f(1)=f(-1)+f(-1)，而且，f(1)=0，得到 f(-1)=0，但是loga（-1）也是没有意义的。

（学生此时所经历的是一种比较自然的论证过程——首先是感受猜想的可靠性与准确性，然后去设法证明其正确性，而不是就去进行逻辑证明。而且这种“自然“的过程往往有助于学生发现证明的方法。） 师：可以改变原先的“猜想”吗？

生（几个学生略为思考与讨论后）：设y=f(x) (x>0)，而且满足f(ab)=f(a)+f(b)，那么f(x)一定是对数函数或者恒为零，即，f(x)=clogax （c?0），或 f(x)=0。

师：这次可以肯定吗？能够证明吗？（以下过程略）

课例分析：这是一个较为明显的发现式教学设计——让学生经历一个“发

现式”学习过程：从提出问题，给出猜测性结论到构想解决问题的思路。不同的班级所经历的教学活动可能不尽相同；不同背景学生的“收获”也不一样。但他们都通过自己的主动学习——独立思考或者与他人的交流，去“发现”对自己而言是全新的知识。教师的作用不再是提供现成的结论，而表现为：设置一个有益于学生“主动介入”的学习情境，提供“有利于思维发展”的学习活动；在活动中引导学生去思考，探求合理的结论与解决问题的思路；在学生需要的时刻提供必要的帮助；营造一个“理解他人，尊重科学和表达自我”的学习氛围。

对于认知发展与教学方法之间的关系，布鲁纳认为：由于学生的学习主要遵

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循自己所固有的认知程序，因此，教师的职责在于“把知识转换成一种适应正在发展着的学生的形式，通过设置一个适当的学习情境，去帮助学生获得一种认知的发展”。由此，布鲁纳提倡使用“发现式”的方法去从事教学。

这里的“发现式”学习是指学生在数学学习的过程中以一个探究者的身份积极，主动地介入学习活动，经历知识的形成过程。通过自己的观察，思考，尝试，推理和相互间的交流去“发现”那些对自己而言是全新的知识。教师的作用则在于创设一个有益于发现式学习的情境，而不是提供现成的结论（认识是一个过程，而不是一个产品——布鲁纳）。因此，布鲁纳特别强调要注重学习的过程，而不只是学习的结果。

布鲁纳曾专门列举了六种有利于学生智力发展的教学基本策略：

● 帮助学生从对特定现象和问题的反应中脱离出来，重建自己一般性策略并有效控制自我反应，从而形成自我的，符合社会群体的反应；

● 根据特定的学习情境，帮助学生形成“转变外部事物为内在结构”的能力，由此而发展其从特殊到一般的思维能力。数学教学中学生直觉能力与创造性能力的培养就显得非常重要；

● 提高学生使用抽象符号以获得超越给定信息的能力。数学教学中让学生经历“一般化”，“概括化”等思维活动，以从直观，特例中获得更一般的发现是非常有意义的教学策略；

● 学生的智力发展有赖于师生之间，学生之间系统的，建设性的交流活动。在许多情形下，创设一个“交流”的机会和氛围是非常有效的教学策略；

● 合理的使用语言可以有效地促进教与学的进行。教师应当帮助学生有效地使用多种语言表达自己的理解。教学中教师自己更应当尽可能地使用不同的语言去表达同一数学对象；

● 同一时刻处理多种信息的能力提高是智力发展的重要标志之一。教师

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