第五章 设计一个合理的教学(3)

例3． 用一条最短的曲线，把一个等边三角形分成等积的两个部分。 分析： 如图6，所求曲线的起，终点必定都在该三角形的边上，否则就不是最短（为什么？）。

l2l1A于是，考虑两种情况：

BC（1） 起，终点在同一条边上； （图6） （2） 起，终点在两条边上。

由等边三角形自身的对称性，估计所求曲线也应具有某种对称性。 对于（1），设l1 是所求曲线（图7）。但l1 本身并未表现出对称性，补上l1关于BC的对称形l1’，及A关于BC的对称形A’BC，

Al1Bl'1CA'图7

于是，对称性就显露了：若l1 为满足要求的最短曲线，则l1 与l1’所围的面积是S▲ABC，且l1 与l1’形成圆，即l1 是半圆。

对于（2），起，终点在两条边上。同样可以作一个对称图形(图8)——六个同样大小的正三角形组成一个正六边形；

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Al2BC图8

若l2 是满足要求的最短曲线，则相应的对称曲线l2 与l2’所围成 的面积是3S△。作为最短曲线， l2 与l2’应形成一个圆.

比较l1与l2的大小，得：l2 < l1，

故所求最短曲线是l2。 ⑦ 代数中的对等及其应用

师：上面我们看到了在几何图形中所存在的对称现象，以及它对求解几何问题的有效作用。那么，代数中是否也有类似的“对称现象”？先看一个问题：

1a1b1c例5． 若 a，b，c>0 且 a+b+c=1，试求 S=(a+最小值。

)2+(b+)2+(c+)2的

分析：在这个问题中，a，b，c所处的地位是完全平等的——在条件式以及结论式中两两互换a，b，c，都不改变原问题。此时，我们简称a，b，c对等。这种对等显然是一种“对称现象”。对该问题而言，可以想象最小值应当在a=b=c时取得（可以验证）。

这里，“对称”的概念已经由位置上的一种“平等”关系上升为性质上的一种“对等”关系。并且由几何范围延伸到了代数范围。事实上，这里还可以形成一种直观的认识——在条件中处于“对等”地位的元素，在结论中也必定处于“对等”的地位。

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例6．解方程组：

?x?y?z?6? ?xy?yz?xz?11

?xyz?6?分析：由于x，y，z在条件式中是对等的，故其在结论式中也应当对等。即若能求得一组解（x，y，z），则可以得到另外五组解（x，z，y），（y，z，x），(y，x，z)，(z，x，y)，(z，y，x)。如果你这时一眼看出一组解（1，2，3）则问题得到解决，否则可以应用韦达定理去得到一组解。

课例分析：从学生生活经验角度来看，对称是一种“图形特征”。但从数学角度对它加以研究时，我们所关注的是它的数学本质属性——地位对等，无论是从数学对象的位置、形状、还是从其性质的角度。这里，从几何现象到代数现象的研究过程可以清晰地揭露出对称的这一本质。

不仅如此，事实上，这里所呈现的还是一个深刻理解数学观念的途径示范

过程，它也给那些对数学学习有着特殊要求的学生提供了一个进一步发展的机会。

一般而言，在设计具体素材时，从学生已知出发,通过把要学习的课题和

素材与学生的实际(知识或生活等)相联系,可以帮助学生构建对知识的更深刻的理解——这是建构型教学的基石.而这里,“关联”并不一定事先就告诉学生,可以通过鼓励学生通过不断地研究新的学习素材和解决问题而感受到这种“关联”. 2．

关于学习方式

学生的数学学习不能只是模仿、记忆、计算等低思维水平的活动，还应当要有

动手实践、自主探索、合作交流等高水平的思维活动。为此，数学教学活动中应考虑给学生留有从事探索、思考的时间与空间，给学生创造表达自我理解、与同伴交流的

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机会。

课例 “点火”还是“灭火”

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授课内容——不等式复习。课上有这样一道练习题：

若x为锐角，求函数

acos22x?bsin22x（a?b?0）的最小值。

教学过程一：启发学生思考，获得如下解答：

因为

acos22x?bsin22x?2acos22xsin?b22x

当且仅当

acos22x?bsin22x时等号成立，

从中解得 cosx?2a222a?b

同理 sinx?2a222a?b

代入上式得 2acos22xsin?b22x?2(a?b)

22所以

acos22x?bsin22x的最小值为2(a2?b2)。

师（看完解答）：答案是否正确？ 学生（齐声）：正确。

教师引导学生回忆应用基本不等式 a?b?2ab时需要注意的三个条

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件——“正、等、定”，即a，b必须取正值，当a×b为定值，且a＝b时，a＋b取得最小值。

通过启发，学生发现了上述解题过程不符合“定”这一条件。不过，还是有学生不明白，站起来辩解，

生1：“把cos2x和 sin2x的值代人后，不就为定值了吗？” 师（面带笑容）：“那不行，必须先为定值。” 生1：“为什么不行呢？”

师（仍然不慌不忙）：“至于为什么，课本上对此没有要求，它也超出了高考要求的范围，我们在这里不作研究。”

学生若有所思地点点头、坐下。 教学过程二：前面类似。

生：使用基本不等式，为什么必须先确定为定值，而代人后为定值就不对？ 师（顺水推舟）：“这个问题大家可以来讨论。”

学生们争先恐后地发言、争辩，参与程度很高。然而，直到下课铃声响起，也没争个水落石出，但这时已基本形成了两种意见：

甲方认为，若为定值，只要等号成立，这个定值就是原来函数的最值；若不为定值，即使用基本不等式得到的仍为一个新的函数，将等号成立的条件代入此式才得到的这个定值，它只是两个函数图象交点处的一个函数值，它不一定是原来函数的最值。

乙方认为，既然f1(x)?(?)f2(x)成立，无论f2(x)先为定值还是代入后为定值，只要等号能成立，这个定值就是原来函数的最值。

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