第五章 设计一个合理的教学(4)

但双方都不能很好地说服对方，越争越激烈，大家只好把求助的目光投向老师，教师一时也拿不出满意的答复。这时课已拖延好几分钟，只得就此结束。

纪敬

课例分析：从上述记录中可以看出：教学过程（一）所展现的出来的是一种“圆满完成任务”的结果——学生若有所思地点点头、坐下，不再有疑问了，课在数学方面显得“滴水不漏”。但“问题并未得到解决”——尽管学生的知识准备和认知水平已经“够得上”去解决它，而且也深刻地感受到解决它的必要性，还是因为“课本上对此没有要求，它也超出了高考要求的范围，所以我们在这里就不作研究了”。

教学过程（二）则明显地没有解决学生所意识到的这个问题——甲、乙双方都不能很好地说服对方，越争越激烈，?教师一时也拿不出满意的答复。这时课已经拖延好几分钟，只得就此结束。

对学生而言，在教学过程（一）中，他们再一次“听到”：应用基本不等式

a?b?2ab时a，b必须取正值，当a×b为定值，且a＝b时，a＋b取得最小

值。此时（或许在近期），他们使用这个公式时会小心翼翼地先判断“a×b是否为定值”——尽管他们或许不理解“a×b一定要为定值”的原因，但做类似的题目时总是出错的可能性减少了。不过，一旦遇上改变了形式的“类似问题”时，或者间隔了一段时间以后，犯类似错误的可能性还是很大的——因为他们只是反复“听到”这个要求，而且许多教学实例（包括本书中的一些案例）也都证明了这一点。

而在教学过程（二）中，教师通过引导学生提出问题、探究问题，使得学生开始关注“在应用基本不等式 a?b?2ab时，‘为什么’要满足‘a×b为定值’”的条件，了解“定值a×b”与所要求的最值有什么关系，甚至，理解“最值的含义”是什么等相关问题。问题虽然没能当场得到解决，留下了一点遗憾——或许就是留下了一个极好的探索空间，因为这可以在下次课上引发更为深入、

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成熟的探讨。假以时日，学生对相关问题的理解将会上一个台阶。

更重要的是，从教育的意义来看，类似于教学过程（一）所带给学生更多的是：对数学知识的理解主要关注的是“是什么”、“怎么做”，而不是“为什么”；对数学知识的掌握则重在熟练、准确地运用它去解决类似的问题；权威（书本或专家、老师）给出的结论是不需要怀疑的，面对它时，我们的任务就是接受、模仿与记忆?等观念。

而类似于教学过程（二）所带给学生更多的则是：对于数学知识的理解，不仅要知道“是什么”和“怎么做”，更应当要弄清楚“为什么”——真理永远是第一位的。

从教学的角度来看，这两种做法可以形象地描述为“灭火”与“点火”。教师应当努力设法去做引发学生积极探索的“点火”者，而不是“灭火”者，因为这对学生一般能力的发展有着长远的影响。

正如我们在第二章所表述的那样，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。我们认为，学生这样的数学学习过程是一个构建自己对数学知识（方法）的理解过程——每一次学习活动都会对相应的学习对象形成一定的理解，而这样的构建过程是需要时间的。足够的独立思考与交流时间有助于学生反思并重组自己新的数学活动经验——这些经验是什么含义，它是如何在已有的知识背景基础之上形成的,以及他人的不同理解对自己而言意味着什么等等。最终，这些条理化了的经验就形成他们对数学的理解。

在这个思考之下，我们可以对前面的“一类数列通项公式的求法”给出一个新的教学设计。

课例 一类数列通项公式的求法——另一种设计

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师：到现在为止，我们所研究的数列都是等差数列或者等比数列。但现实

情形中有许多形式很简单，但既非等差，又非等比的数列（可以举例）。我们能不能求得它们的通项公式呢？

问题一。已知某数列?an?的首项a1＝１，且 an=2an?1+1（n? 2），求它的通项公式。

让学生独立思考、相互讨论，教师则巡视。一旦发现有部分学生已经获得求解的途径或问题的答案（许多学生很容易得到解），让他们表述自己的解。

师：这数列的通项确实很简单， 1，3，7，15，31，?大概我们都同意，它的通项公式“一定”是 an=2n-1。不过，这个“一定”还需要证明一下，要不谁能保证到了第一千项以后不会有意外呢？

问题二。你能证明自己的猜测吗？

（很自然地提出一个学生需要做，并乐于从事的活动。）

仍然可以先让学生自己活动：独立思考与相互合作相结合。而且，学生的解题途径可能与教师的预先设计相同（在递推式两端加上1），也可能不同（从原数列1，3，7，15，?进而注意到其相邻两项的差依次是 2，4，8，16，?，也可以获得求解的途径）。让学生交流一下自己的想法。

师：现在，我们可以处理更复杂一些的问题了

问题三。已知某数列?an?的首项a1＝60，且 an=an?1+60 (n?2) 求其

51通项。

还可以先是学生自主活动：可能是模仿问题一，递推式两边加上1，15，30，?但行不通。简单地凑数字未能奏效，会导致学生去思考问题的核心是什么，问题一求解的关键在哪里（可以是教师引导学生去思考这些）。进而寻求有效的

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解决方法。有必要可以让一个学生作“抛砖引玉”式的发言，以引起讨论。最后，时间允许的话，让学生自己设计几个类似的问题，相互间求解。

课例分析：这一教学过程的表述看起来很简单，但实施起来相当复杂——主要原因在于我们无法事先完全确定学生所可能提出的问题，遇到的困难和表现的理解水平等等。而这一切又都是教师所必须给出评价，回答和帮助的。因此，这种教学设计和实施对绝大多数教师而言是一种挑战，一种对其数学教学观念，教学素养，应变能力和专业水平的综合检测。其教学难度远非“教师讲——学生听”的模式所能比的。

有研究表明，学生在建构主义观点指导下的数学教学活动中，同样可以获得在传统数学课堂里所得到的数学知识与数学技能，但迁移得更多，而且对数学有着更好的态度。

3．一些数学教学设计案例

在实际教学过程中，服务于不同教学目的的课通常有不同的教学要点，这在教学设计中也会有具体的体现。以下是一些常见课程形式的设计案例。

⑴ 知识形成的教学设计

课题：发现一类具有某种特性的实数数列﹛an﹜，例如：对无穷多个n而言，an=0。

⑴ 教学目标：

① 让学生经历知识的产生与形成过程； ② 发展学生的创造性思维； ③ 帮助学生综合数列的相关知识。

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⑵ 教学过程

师：当我们谈论一个数学对象时，最好能够先给它起个名字，这里的数列﹛an﹜我们可以把它叫做“断续数列”，你们同意吗？还有其他合适的名字（笔者注：给对象起名字，实际上也是对它所满足的数学特性的一种形象化语言描述。究竟采用哪个名字不是很重要，起名字的过程就是熟悉对象、表达自己对于对象的了解的过程。）

师：断续数列存在吗，为什么？（笔者注：让学生借用寻找“正例”的方式，说明断续数列的存在性。这一活动本身既是熟悉对象的过程，也为后续的活动做准备。这一任务可以有不同程度和不同水平的完成，交流

各自的结果有益于对问题的理解）

所有的数列都是断续数列吗（笔者注：借用寻找“反例”的方式，说明结论是否定的，这也是一种数学证明的方法。）

断续数列有哪些数学性质，比如说：两个断续数列的和还是断续数列吗？两个断续数列的积呢（笔者注：对于数列基本知识的一个复习过程。）

你能找到断续数列的其他数学性质吗（笔者注：综合运用所学相关数列知识的过程，是一个极好的创造性活动机会。若学生之间以交流的方式了解彼此的想法，则每一个人的收获都会更大。）

断续数列与其他数列有什么关系（笔者注：仍然是一个综合运用所学相关数列知识的过程，和一个极好的创造性活动机会。相信对每一个学生而言，都能够得到一些答案，也都具有挑战性，也就是说，这是一个面向全体学生的数学问题——所有的学生都能够在探索与交流的过程中获益。）

要求学生回顾上面的研究过程，整理一个有关断续数列的小知识框架：它的起点是什么？有哪些基本结论？不同结论之间的逻辑关系是什么（笔者注：这是一个整理数学知识、构建数学知识结构的过程。学生通过具体的活动可以感受

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