****??pf(tx1,tx2)?tw1x1?tw2x2 ** ?t[pf(1x,2x)?*w?11x*w]x2 2 ?t?*??*
这就和?是最大利润相矛盾，所以厂商的最大利润只能是零。
3.试证明：在完全竞争的市场经济当中，存在满足生产和交换同时实现帕累托最优的条件。(第十三章，题6)
AB证明：生产和交换的帕累托最优条件是MRTxy?MRSxy，即产品的?MRSxy*边际替代率等于边际转换率。现在证明在完全竞争的市场经济条件下，存在满足生产和交换同时实现帕累托最优的条件。
(1)在完全竞争条件下，对产品X、Y的消费者A来说，效用最大化的条件是两种产品的边际替代率等于其价格比，即：
AMRSXY?PX PY对消费者B来说，也有
BMRSXY?PX PY因此，产品X、Y的均衡价格达到了交换的帕累托最优状态，即
ABMRSXY?MRSXY?PX PY(2)在完全竞争条件下，对产品X、Y的生产者A来说，利润最大化的条件是投入要素L，K的边际技术替代率等于价格比，即
AMRTSLK?w rw r对生产者B来说，也有
BMRTSLK?因此，要素L，K的均衡价格达到了生产的帕累托最优状态，即
ABMRTSxy?MRTSxy?PX PY 36
(3)生产可能性曲线，即产品转换率曲线上任何一点的边际转换率是曲线在这一点切线的斜率的量值，即
MRTXY??dYMCX ?dXMCY而在完全竞争条件下，企业的最优产量满足MCX?PX，MCY?PY 所以MRSXY?PX?MRTXY PY因此，产品X、Y的均衡价格达到了生产和交换的帕累托最优状态。 4.在两种商品交换的经济体中，两个人（a，b）有如下的效用函数：
Ua(Xa)?lnX1a?2lnX2a，Ub(Xb)?2lnX1b?lnX2b，假定a最初的资源禀赋
Ra?(9,3)，即a拥有9个X1和3个X2；而b最初的资源禀赋为Rb?(12,6)，即b拥有12个X1和6个X2。定义两种商品X1和X2的价格之比
P1并标准??，
P2*化商品2的价格P（第十三章，题7） 2?1。证明：均衡的价格水平??0.5。
证明：对消费者a来说，应满足如下目标函数：
X1a,X2aMaxUa(Xa)?lnX1a?2lnX2a
s..tP1X1a?X2a?9P1?3 构造拉格朗日函数为：
L?lnX1a?2lnX2a??(PX11a?X2a?9P1?3) 由一阶条件可得：
?L1???P1?0 ?X1aX1a?L2????0 ?X2aX2a?L?P1X1a?X2a?9P1?3?0 ??联立解得：X1a?3P1?1，X2a?6P1?2 P137
对消费者b来说，应满足如下目标函数：
X1b,X2bMaxUb(Xb)?2lnX1b?lnX2b
s..tP1X1b?X2b?12P1?6 构造拉格朗日函数为：
L?2lnX1b?lnX2b??(PX11b?X2b?12P1?6) 由一阶条件可得：
?L2???P1?0 ?X1bX1b?L1????0 ?X2bX2b?L?P1X1b?X2b?12P1?6?0 ??联立解得：X1b?8P1?4，X2b?4P1?2 P1市场出清时应有：
X1a?X1b?3P8P?41?1?1?9?12?21
PP11解得P1?0.5
故均衡的价格水平?*?
P1?0.5 P2 38
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