(3) 由于L?12PL12??12
11?PL1?PL可得不管工资率有多高,她的工作时间不会超过12小时。
23.甲有300单位商品x,乙有200单位y,两人的效用函数都是u(x,y)?xy。请推导出所有满足帕累托有效的配置。两人通过交换达到帕累托有效配置,求出两人进行交换的价格体系,并求出交换结果。(第十三章,题2)
解:(1)设甲乙两人的消费束为:甲(x1,y1),乙(x2,y2)。 约束条件为:
x1?x2?300y1?y2?200 (1)
帕累托有效配置的条件是甲乙两人的无差异曲线相切,即
MRSx1,y1?MRSx2,y2即于是我们有
MUx1MUy1=MUx2MUy2
y1y2= (2) x1x2y1300?y12=?y1?x1 x1200?x132x1 3联立(1)、(2)得:
因此,所有满足怕累托有效配置的契约线为y1?(2)令x价格为1,y的价格为p,先求甲的效用最大化条件:
max u1(x1,y1)?x1y1
s..t x1?py1?300
解得:x1?150,y1?150 p再求乙的效用最大化条件:
max u2(x2,y2)?x2y2
s..t x2?py2?200p
解得:x1?100p,y1?100
31
由第(1)问中的契约线方程y1?2x1可求解出p?1.5 3此时x1?150,y1?100,x2?150,y2?100。
24.假设在一个纯交换经济中有两个消费者i?A,B和两种商品j?1,2。消费
ii者的初始禀赋wi?(w1消费者A的初始禀赋和效用函数分别为wA?(1,0)和,w2)。AA1??UA(x1A,x2)?(x1A)?(x2);消费者B的初始禀赋和效用函数分别为wB?(0,1)和BB1??UB(x1B,x2)?(x1B)?(x2)。商品1和2的价格分别用p1和p2来表示。
(1)求竞争均衡(提示:在计算竞争均衡时可把商品1的价格标准化为1)。 (2)假设??12,??12,使市场出清的价格水平和均衡消费量分别为多少?(第十三章,题4)
解:(1)消费者A的效用最大化问题为:
AA1??maxUA(x1A,x2)?(x1A)?(x2)
st.p1x1A?p2x2A?pwA?p1
x1A?解得A? (1)
x2(1??)p1p2消费者B的效用最大化问题为:
BB1??maxUB(x1B,x2)?(x1B)?(x2)
B?pwB?p2 st.p1x1B?p2x2x1B?p2p1解得B? (2)
x2(1??)市场出清的条件为
x1A?x1B?1 (3)
ABx2?x2?1 (4)
32
令p1?1,由(1)、(2)、(3)、(4)可得:
p2?1???
BAx1A??,x2?1?? ??,x1B?1??,x2(2)当??12,??12时,市场出清的价格水平为p1?p2?1
Bx1A?x2A?x1B?x2?1 225.假定小王(A)和小李(B)的效用函数分别为: UA?xAyA UB?xB?yB (1)请针对两人分别写出x对y的边际替代率公式。
(2)如果交易通过价格体系来实施,请写出均衡时的(可行的)价格比率。 (3)假定共有100单位的x和200单位的y。最初,小王有25单位的x和75单位的y,而小李有75单位的x和125单位的y。请说明经过市场交易后,均衡时两人分别拥有的两种商品的数量。(第十三章,题5)
MUxAyA解:(1)小王(A)的x对y的边际替代率公式为MRS? ?MUyAxAAxyMUxB小李(B)的x对y的边际替代率公式为MRS??1 BMUyBxy(2)如果交易通过价格体系来实施,均衡时的价格比率必须满足条件:
AMRSxy?PyAB?MRSxy?1?x xAPyPx?1 Py 所以均衡时的价格比为
AA(3)小王的初始禀赋配置为:(wx,wy)?(25,75),小李的初始禀赋配置为:BB(wx,wy)?(75,125)。假设经过市场交易后,均衡时两人拥有的商品的数量组合***分别为(x*A,yA),(xB,yB)。
33
*******均衡时,(x*A,yA)?(xB,yB)?(xA?xB,yA?yB)?(wx,wy)?(100,200) ***即x*,?x?100y?yABAB?100 ①
A由(1)可得,均衡时MRSxy?yA*?1,所以x*?yAA ② xA同时,小王和小李必须满足各自的预算约束:
*AAPxx*?Py?Pw?PwAyAxxyy ③ **BB ④ PxxB?PyyB?Pxwx?Pywy由(2)得
Px?1,所以③、④两式可化简为 Py*AAx*?y?w?wAAxy?25?75?100 ⑤ **BBxB?yB?wx?wy?75?125?200 ⑥
综合①、②、⑤、⑥四式可得均衡时两人分别拥有的商品数量为:
***(x*A,yA)?(50,50),(xB,yB)?(50,150)
(4)图略。
26.假定两个具有相同偏好的人同居一室,他们的效用来自看电视的时间x与所吃的零食量y。效用函数由下式给出
1323iui(x,yi)?xy (i=1, 2)
又假定每个人要花30元,px?10元,py?10元,并且假定两人是一起看电视的(禁止单独收看电视)。问:这两个人该如何配置自己的收入,才符合萨缪尔森规则?(第十四章,题5)
解:由已知的效用函数可得,
iMRSX,Y?uiy )??x?i (i?1,2?ui2x?yi式中,x为公共品(看电视的时间),yi为私人品(个人i的小吃量)。 按照萨缪尔森规则有
2MRS1?MRS?X,YX,Yy1y2y1?y2???MRTX,Y 2x2x2x 34
MRTX,Y的值已由两种商品的价格显示出来,即MRTX,Y?px10??5 py2由于两人偏好相同,在最优解时y1?y2?y;又由于x(看电视)是两人一
2?MRSX?起享受的,所以MRS1X,Y,Yy1y22yy????5 2x2x2xx即yi*?5x*
但由预算约束可知,pxx*?pyyi*?30 (i?1,2 )求解出x*?1.5,yi*?7.5
四、证明题
1.一个企业的生产函数为Q?Q(x1,x2,?xn),Q为产出,xi为投入的第i种要素的数量。(第六章,题5)
(1)用数学方法给出该企业处于规模报酬递增的表达;
(2)证明:把该规模报酬递增的企业一分为二,产出之和小于原来产出 证明:(1)生产函数为Q?Q(x1,x2,?xn)满足规模报酬递增的条件是:设t为任一大于1的数值,有Q(tx1,tx2?txn)?tQ(x1,x2?xn)。
(2)根据规模报酬递增函数的性质有
Q(2?xxx1xxx,2?2?2?n)?2Q(1,2?n) 222222x1x2xn,?),这表明把规模报酬递增的企业一分为222所以Q(x1,x2?xn)?2Q(二,产出之和小于原来产出。
2.试证明在完全竞争的市场上,如果一个企业的生产技术具有规模报酬不变的特性,那么如果最大利润存在,它一定是零。(第七章,题11)
证明:采用反证法。在完全竞争市场上,假设一个具有规模报酬不变的厂商
******??pf(x,x)?wx?wx?0。其中,p是产品的?121122可以获得正的最大利润,则
**wwxx2112价格,和是生产要素的价格,和是最优投入要素。
那么,当厂商的生产规模扩大为原来的t(t?1)倍时,厂商的利润为:
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