（2）因为p1?1，p2?2，所以x1?12，x2?6。
（3）消费水平不变即消费效用不变，故要维持U?x1x2?72。消费者问题为：
min(x1?3x2)
st. x1x2?72 构造的拉格朗函数为：
L?x1?3x2??(x1x2?72)
将拉格朗日函数分别对x1和x2求偏导，令偏导值为零
?L?1??x2?0 ?x1?L?3??x1?0 ?x22所以x1?3x2，从而3x2?72，可解出x2?26，x1?66，预算应调整为
126。对商品2带来的替代效应为26?6
（4）如果预算仍为24，则消费者对商品2的需求为x2?给其带来的收入效应为4?26。
2. 假定某消费者的效用函数为U?q0.5?3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：
（1）该消费者的需求函数；
1（2）当价格p?，q?4时的消费者剩余。（第三章，题11）
12解：（1）消费者收入的边际效用为： ???U?3 ?M12?4，价格变化p2 该消费者最优消费量应满足的条件为
?U?qp?1?1/q22p???3
所以消费的需求函数为：
16
q?1/2?6p?q?1 236p （2）当p?11144时，有q???4 1236p236 消费者剩余为：
444?111?1141??dq?q?qq?0? Cs??(p?p(q))dq???00?6q?03123q12???3.某甲拥有财富100万元，明年他有可25%的可能性会丢失一辆价值36万元的小汽车，假设他的效用函数为U?W，W为他的财富。请解答以下问题：
（1）如果他不参加明年的保险，他的期望效用是多少？
（2）如果他参加保险，他最多愿意支付多少保险费用？（第四章，题3） 解：（1）期望效用等于效用的期望值，即EU=0.25×100-36+0.75×100 =9.5 （2）设甲支付的保险费为R，显然R应满足下式： 100 5?R?9.即购买保险后的效用不低于不买保险下的期望效用。可解得
R?9.7 5甲最高愿意支付的保险费为9.75。
4.一个人具有期望效用函数，其效用函数原形为u(w)?w。他的财产初值为4元。他拥有一张奖券，该奖券值12元的概率为0.5，值零的概率为0.5。什么是这个人的期望效用？若要他出让该彩票，其索取的最低价会是多少？（第四章，题6）
解：拥有这张奖券的期望效用为 EU(w)=0.54?12?0.54=3
若让他出让该彩票，他索取的最低价应当使他出让前后效用水平不变，设该价格为p，有U(w+p)=EU(w)，从而4?p?3
解得 p=5．即他索取的最低价是5元。
5.某人有10万元的存款，存入银行可以获取2%的利率。他可以将一部分钱投入股票市场，现在假设股票市场仅仅存在一种股票，收益率和方差服从正态分布N(0.1,1)，他对于均值和方差的偏好为U(?,?)?10???2，他应该将多少
17
钱投入到股票市场上？（第四章，题8）
解：设投资者将x比例的钱投放到股票市场上，则他存入银行的比例为（1-x）。这样，可以把其投资看成是含有一种风险资产的投资组合。其中，无风险利率
rf?2%，风险资产的期望收益率rm?10%，标准差?m?1。
则投资组合的期望收益率
rx?xrm?(1?x)xf?x?10%?(1?x)?2%?0.08x?0.02 标准差?x?x?m?x
则对投资组合的偏好可表示为：
U(rx,?x)?10(0.08x?0.02)?x2
x?0. ??x2?0.8 2U?(rx,?x)??2x?0.8?0 得：x?0.4
即投资者应将10×0.4=4（万元）的钱投放到股票市场上。 6.厂商的生产函数为Q?24LK3123 ，生产要素L和K的价格分别为??4，
r?8。求厂商的长期成本函数。（第六章，题4）
解：厂商长期中的最优化问题为：
min(4L?8K)
st. Q?24L3K3 拉格朗日方程为：
V?4L?8K??(24LK312312?Q)
2?V?2?4?8?L3K3?0 ?L1?1?V?8?16?L3K3?0 ?KQ 24Q所以LTC(Q)?4L?8K?
2
从而有L?K，即L?K? 18
7.已知某厂商的生产函数为Q?L38K58，又假设w?3，r?5，试求： （1）产量Q?10时的最低成本和使用L与K的数值。
（2）总成本为160美元时厂商均衡的Q、L与K的数值。（第六章，题8）
35解：(1)由生产函数Q?L38K58，有MPL?L?58K58，MPK?L38K?38，既
88定产量下成本最小的要素投入比例应满足的条件是
MPLw3?? MPKr5583?58LK8从而
538?LK83K3K3???，即?1
L585L所以，当Q?10时，有K?L?10，最低成本为TC?80 (2)最优投入时有K?L，所以Q?L38K58?K?L 故企业才长期成本函数为TC(Q)?rK?wL?5Q?3Q?8Q 当TC(Q)?160时，有Q?20
此时K?L?20
8.一项生产技术为Q??min(2L,2K)?，劳动和资本的价格均为1。某厂商若购买此项专利技术，则在专利的有效期内可垄断该产品市场，有效期过后，任何厂商都可以生产该产品。市场对该产品的需求函数为p?1000?1.5Q。
（1）该产品的要素需求函数和成本函数。 （2）该厂商最多愿意出多少钱购买此项技术？
（3）若政府对该产品征收50%的从价税，该厂商愿意出多少钱购买此项技术？（第六章，题9）
解：（1）由题中给出的生产函数，可得厂商在最优生产时，满足：
12Q?2L?2K 1L?K?Q2即为要素需求函数。
211所以成本函数为C?1?Q2?1?Q2?Q2
22（2）厂商出钱买此技术必须至少不出现亏损。设专利技术费用为T，厂商
19
购买此技术后其利润为：
??pQ?C?T?(1000?1.5Q)Q?Q2?T??2.5Q2?1000Q?T，且??0
d???5Q?1000?0，得Q*?200，此时C?Q2?40000，??100000?T?0 dQ所以Tmax?100000
厂商最多愿意支付100000用于购买此技术。
（3）如果政府征收50%的从价税，此时价格为1.5p，市场需求变为
Q?1(1000?1.5p)，仍设其购买专利技术费用为T，此时，厂商的利润函1.5数为：
?????1000??Q?Q?Q2?T，且???0 ?1.5?d??1000??4Q?0，得Q*?167 dQ1.5此时???55555?T?0，故Tmax?55555
9.某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P，求解下列问题：
（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？ （2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？答案：100家
（3）如果市场需求变化为Q=100000-5000P，求行业与厂商新的短期均衡价格与产量，在新的均衡点，厂商盈利还是亏损？（第七章，题3）
解：(1) 由于市场需求函数为QD=70000-5000P，供给函数为QS=40000+2500P，所以市场均衡价格应满足QS?QD，从而，均衡价格为P?4。由于该价格等于长期平均成本的最低值，所以该行业中的企业获得零经济利润，实现了长期均衡。
(2)当P?4时，QE?QS?QD?50000。又因为所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，所以企业数为100。
(3) 如果市场需求变化为Q=100000-5000P，则由QS?QD，可得均衡价格
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