解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数是特殊的映射．( )
(2)函数y＝1与y＝x是同一个函数．( )
(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)函数y＝2x－3＋
1
的定义域为( ) x－3
B．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
0
?3?A.?，＋∞? ?2??3?C.?，3?∪(3，＋∞) ?2?
??2x－3≥0，
C [由题意知?
?x－3≠0，?
3
解得x≥且x≠3.]
2
3．如图2-1-1所示，所给图像是函数图像的有( )
图2-1-1
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
B [(1)中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x＝x0时，y的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x的值对应唯一的y值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]
x＋1，x≤1，??
4．设函数f(x)＝?2
，x＞1，??x2
则f(f(3))＝________.
2?213213? [f(3)＝，f(f(3))＝??＋1＝.]
939?3?
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax－2x的图像过点(－1,4)，则a＝________.
－2 [∵f(x)＝ax－2x的图像过点(－1,4)， ∴4＝a×(－1)－2×(－1)，解得a＝－2.]
3
3
3
(对应学生用书第9页)
求函数的定义域
(1)(2018·济南一模)函数f(x)＝
13x2－＋的定义域为________．
2x＋1
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝
fxx－1
的定义域是________．
?x1
(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得?2－≥0，
2?
x＋1≠0，
解得x＞－1，所
以函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．]
[规律方法] 函数定义域问题的类型及求解策略 已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解. 实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解. 抽象函数： ①若已知函数fx的定义域为[a，b]，其复合函数fgx的定义域由不等式a≤gxb求出； 的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在x∈[a，b]②若已知函数fgx时的值域. ③已知f[φx定义域为[m，n]，求f[hx定义域，先求φx值域[a，b]，令a≤hxb，解出x即可. 3x2[跟踪训练] (1)函数f(x)＝
＋lg(3x＋1)的定义域是( )
1－x?1?A.?－，1? ?3??11?C.?－，? ?33?
x?1?B.?－，＋∞? ?3?
1??D.?－∞，－?
3??
(2)已知函数f(2)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________.
【导学号：79140019】
?1?(1)A (2)?，2? [(1)由题意可知{1－x＞0，
?2?
x＋1＞0， 解得
?
?x＜1，?
x＞－，x13
1
∴－＜x＜1，故选A.
3
(2)∵f(2)的定义域为[－1,1]， 1x?1?∴≤2≤2，即f(x)的定义域为?，2?.] 2?2?
求函数的解析式 ?1?21
(1)已知f?x＋?＝x＋2，求f(x)的解析式；
?
x?
x?2?(2)已知f?＋1?＝lg x，求f(x)的解析式；
?x?
(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；
?1?(4)已知f(x)＋2f??＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．
?x?
1?1?21?1?2
[解] (1)由于f?x＋?＝x＋2＝?x＋?－2，令t＝x＋，当x＞0时，t≥2?x?
x?x?
xx·
x1
＝2，当且仅当x＝1时取等号；
1??当x＜0时，t＝－?－x－?≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，
?x?
∴f(t)＝t－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f(x)的解析式是f(x)＝x－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
22
(2)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，
xt－1∴f(t)＝lg
22
，即f(x)＝lg(x＞1)． t－1x－1
2
22
(3)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)＋b(x＋1)－ax－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， ∴{2a＝1，
2
2
a＋b＝－1， 即?a＝，b＝－，
?
?
1
232
123
∴f(x)＝x－x＋2.
22
1?1??1?(4)∵f(x)＋2f??＝x，∴f??＋2f(x)＝. ?x??x?
x联立方程组?f?
?
x＋2f??＝x，f??＋2fx＝，
x?x??x?
?1??1?1
2x解得f(x)＝－(x≠0)．
3x3
[规律方法] 求函数解析式的常用方法 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. 换元法：已知复合函数fgx范围. 构造法：已知关于fx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值?1?与f??或fx?? －x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出fx[跟踪训练] (1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式； (2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求
f(x)的解析式．
[解] (1)法一：(换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)＋2(t－1)＝t－1(t≥1)，所以f(x)＝x－1(x≥1)． 法二：(配凑法)f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)－1， 又x＋1≥1，所以f(x)＝x－1(x≥1)． (2)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， 所以a＝1，b＝2，f(x)＝x＋2x＋c. 又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c＝0，c＝1， 故f(x)＝x＋2x＋1.
2
2
2
2
2
2
2
2
◎角度1 求分段函数的函数值
(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝{1＋log2
分段函数及其应用 －x，x<1，
x－1
，x≥1， 则
f(－2)＋f(log212)＝( )
A．3 C．9
C [∵－2<1，
∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. log212－112
∵log212>1，∴f(log212)＝2＝＝6.
2∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.] ◎角度2 已知分段函数的函数值求参数
(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝{log2x，x≥1，x＋m，x＜1， 若f(f(－
2
2
B．6 D．12
1))＝2，则实数m的值为( ) A．1 C.3
2
2
B．1或－1 D.3或－3
2
D [f(f(－1))＝f(1＋m)＝log2(1＋m)＝2，m＝3，解得m＝±3，故选D.] ◎角度3 解与分段函数有关的方程或不等式
(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝{x＋1，x≤0，
x，x＞0， 则满足f(x)＋
f?x－?＞1的x的取值范围是________．
2
??
1??
?－1，＋∞? [当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋1>1，解得x>－1， ?4?24??
1
∴－ 4 11x当0 2211x当x>时，原不等式为2＋2x－>1，显然成立． 22 ?1?综上可知，x的取值范围是?－，＋∞?.] ?4? [规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现ffa的形式时，应从内到外依次求值已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围自变量的范围不确定时，应分类讨论. [跟踪训练] (1)(2017·山东高考)设f(x)＝{x，0 ?a? A．2 C．6 B．4 D．8 x2 (2)(2018·北京西城区二模)函数f(x)＝{2， x≤0，1 ________；方程f(－x)＝的解是________． 2(3)已知函数f(x)＝{x＋2ax，x≥2， 2 1? x，x＞0， 则f???＝ ?4? x＋1，x＜2， 若f(f(1))＞3a2，则a的取 值范围是________. 【导学号：79140020】 (1)C (2)－2 －2或1 (3)(－1,3) [(1)若0
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