(3)子集的传递性：A?B，B?C?A?C. (4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
(5)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何集合都有两个子集．( )
(2){x|y＝x}＝{y|y＝x}＝{(x，y)|y＝x}．( ) (3)若{x1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立． (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．
(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x上的点集．
(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．
(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A＝?时，B，C可为任意集合．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×
2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，则下列结论正确的是( )
【导学号：79140000】
A．{a}?A B．a?A C．{a}∈A D．a?A D [由题意知A＝{0,1,2}，由a＝2，知a?A.]
3．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} C．{x|－1＜x＜1}
B．{x|－2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}
2
2
2,
2
2
2
A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.]
4．设全集U＝{x|x∈N＋，x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于( )
A．{1,4} C．{2,5}
B．{1,5} D．{2,4}
D [由题意得A∪B＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴?U(A∪B)＝{2,4}．]
5．已知集合A＝{x＋x,4x}，若0∈A，则x＝________.
2
??x＋x＝0，
－1 [由题意，得?
?4x≠0?
2
??4x＝0，
或?2
?x＋x≠0，?
解得x＝－1.]
(对应学生用书第2页)
(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
22 0192 019
(2)已知a，b∈R，若?a，，1?＝{a，a＋b,0}，则a＋b为( )
集合的基本概念 ??
ba??
A．1 C．－1
B．0 D．±1
(1)B (2)C [(1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.
当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8. 即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a≠0，则＝0，
所以b＝0，于是a＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 0192
ba＋b2 019
＝(－1)
2 019
＋0
2 019
＝－1.]
[规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集. 看这些元素满足什么限制条件. 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性. [跟踪训练] (1)若集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 999A. B. C．0 D．0或 288
(2)已知集合A＝{m＋2,2m＋m}，若3∈A，则m的值为________.
【导学号：79140001】
32
(1)D (2)－ [(1)若集合A中只有一个元素，则方程ax－3x＋2＝0只有一个实根或
2
2
2有两个相等实根．
2
当a＝0时，x＝，符合题意；
3
92
当a≠0时，由Δ＝(－3)－8a＝0得a＝，
89
所以a的取值为0或. 8
(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去；
32
当2m＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，
231
此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．
223
所以m＝－.] 2
(1)已知集合A＝{x|y＝1－x，x∈R}，B＝{x|x＝m，m∈A}，则( ) A．AB C．A?B
B．BA D．B＝A
2
2
2
2
集合间的基本关系 (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B?A，则m的取值范围为________．
(1)B (2)m≤1 [(1)由题意知A＝{x|－1≤x≤1}， 所以B＝{x|x＝m，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 因此BA.
(2)当m≤0时，B＝?，显然B?A，
当m＞0时，因为A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}＝{x|－1＜x＜3}． 当B?A时，有
－m≥－1，??
所以?m≤3，
??－m＜m.所以0＜m≤1.
2
综上所述，m的取值范围为m≤1.] [规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系. 2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解. 易错警示：B?AA≠?，应分B＝?和B≠?两种情况讨论. [跟踪训练] (1)已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围是________．
(1)D (2)(－∞，4] [(1)由x－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}． 由题意知B＝{1,2,3,4}，
所以满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B?A，
∴当B＝?时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠?时，若B?A，如图．
22m＋1≥－2，??
则?2m－1≤7，??m＋1＜2m－1，
解得2＜m≤4.
综上，m的取值范围为m≤4.]
◎角度1 集合的运算
(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3＜1}，则( ) A．A∩B＝{x|x＜0} C．A∪B＝{x|x＞1}
B．A∪B＝R D．A∩B＝?
x集合的基本运算 (2)(2018·九江一中)设U＝R，A＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(?UB)
＝( )
A．{1,2}
C．{－3，－2，－1,0}
xB．{－1,0,1,2} D．{2}
(1)A (2)C [(1)∵B＝{x|3＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A. (2)由题意得?UB＝{x|x＜1}，∴A∩(?UB)＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数
???1
(2018·合肥第二次质检)已知A＝[1，＋∞)，B＝?x∈R?
?2??
??
a≤x≤2a－1?，若
??
A∩B≠?，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) 2??C.?，＋∞?
?3?
1??a≤2a－1，A [集合A∩B≠?，则?2
??2a－1≥1，解得a≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题
如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合
?1?B．?，1?
?2?
D．(1，＋∞)
A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝______.
{0,6} [由题意可知－2x＝x＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．] [规律方法] 解决集合运算问题需注意以下四点： 看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提. 看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解. 要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍. 以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决. [跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( ) A．{1，－3}
B．{1,0}
22
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