所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2. 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一， 所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1,1]．
[规律方法] 1.研究含有绝对值的函数问题，常利用零点分段法或数形结合法求解. 2.与恒成立或能成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题. [跟踪训练] (2018·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x|＋a. (1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围.
【导学号：79140395】
[解] (1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|2x＋1|≥|x|. 两边平方整理，得3x＋4x＋1≥0， 1
解得x≤－1或x≥－.
3
2
?1?所以原不等式的解集为(－∞，－1]∪?－，＋∞?. ?3?
(2)由f(x)≤g(x)，得a≥|2x＋1|－|x|. 令h(x)＝|2x＋1|－|x|，
??1则h(x)＝?3x＋1，－ 2 ??x＋1，x≥0. 1－x－1，x≤－，2 1?1?由分段函数图像可知h(x)min＝h?－?＝－， 2?2? ?1?从而所求实数a的取值范围为?－，＋∞?. ?2? 第二节 不等式的证明 [考纲传真] (教师用书独具)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． (对应学生用书第206页) [基础知识填充] 1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则 2 2 a＋b2 ≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 3 ≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则 a＋b＋c3 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则 a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． n2．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)(当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 则(x1－x2)＋(y1－y2)＋(x2－x3)＋(y2－y3)≥(x1－x3)＋(y1－y3). (4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 3．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法： ①比差法的依据是：a－b>0?a>b步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号． ②比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1. (2)综合法与分析法： ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AB这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． ②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 11 2．(教材改编)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( ) abA．x＞y C．x≥y 1?1?A [x－y＝a＋－?b＋? B．x＜y D．x≤y a?b? ＝a－b＋ b－a(a－b)(ab－1) ＝. abab由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0， (a－b)(ab－1) 所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.] ab3．若a＝3－2，b＝6－5，c＝7－6，则a，b，c的大小关系为( ) A．a>b>c C．b>c>a A [“分子”有理化得a＝所以a>b>c.] 11 4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________. 13＋2 ，b＝ B．a>c>b D．c>a>b 16＋5 ，c＝ 17＋6 ， ab【导学号：79140398】 4 [由题意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0， 11?11?ba所以＋＝?＋?(a＋b)＝2＋＋ ab?ab? ab≥2＋2ba·＝4， ab1 当且仅当a＝b＝时等号成立．] 2 5．已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥9xy. [证明] 因为x＞0，y＞0， 323222 所以1＋x＋y≥3xy＞0,1＋x＋y≥3xy＞0， 323222 故(1＋x＋y)(1＋x＋y)≥3xy·3xy＝9xy. (对应学生用书第207页) 2 2 已知a＞0，b＞0，求证： 比较法证明不等式 ab＋≥a＋b. ba[证明] 法一：∵? ＝? ?a＋b? ?－(a＋b) a??b?a－b??b－a?a－bb－a＋ ?＋??＝?b??a?ba(a－b)(a－b) ＝ ab(a＋b)(a－b) ＝≥0， 2 ab∴ ab＋≥a＋b. baab＋baa＋baa＋bb ab(a＋b) 法二：由于＝ ＝＝ (a＋b)(a－ab＋b) ab(a＋b)a＋b－1 ab2ab≥ ab－1＝1. 又a＞0，b＞0，ab＞0， ∴ ab＋≥a＋b. ba[规律方法] 作差比较法证明不等式的步骤：作差；变形；判断差的符号；下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. 注：作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第商与“1”的大小. [跟踪训练] (2018·临川一中)设a≠b，求证：a＋6ab＋b>4ab(a＋b)． [证明] 因为a＋6ab＋b－4ab(a＋b) ＝(a＋b)－4ab(a＋b)＋4ab ＝(a＋b－2ab)＝(a－b). 又a≠b，所以(a－b)>0， 所以a＋6ab＋b>4ab(a＋b)． 4 22 4 2 2 4 2 2 2 4 2 22 2 2 22 4 22 4 2 2 422422步要判断 3 3 综合法证明不等式 (2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a＋b＝2.证明：(1)(a＋b)(a＋b)≥4； (2)a＋b≤2. [证明] (1)(a＋b)(a＋b)＝a＋ab＋ab＋b ＝(a＋b)－2ab＋ab(a＋b)＝4＋ab(a－b)≥4. (2)因为(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b＝2＋3ab(a＋b) 3(a＋b)3(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋， 44所以(a＋b)≤8，因此a＋b≤2. [规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?BA为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“?”. 2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. [跟踪训练] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： 111 (1)＋＋≥8； 3 2 3 3 3 2 2 3 3 32 33 4 4 2 22 5 5 6 5 5 6 55 abab?1??1?(2)?1＋??1＋?≥9. ? a?? b? [证明] (1)∵a＋b＝1，a>0，b>0， 11111a＋b∴＋＋＝＋＋ abababab 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库打包下载：2019届高考数学(理)一轮复习名师学案(共75套)北师大版(2)在线全文阅读。
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