第一节 绝对值不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
(对应学生用书第204页)
[基础知识填充]
1．含绝对值的不等式的性质
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：
不等式 |x|a a>0 {x|－a＜x＜a} {x|x＞a或x＜－a} a＝0 ? {x∈R|x≠0} a<0 ? R (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；
③构造函数，利用函数的图像求解．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( ) (2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.( ) (3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( ) (4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．不等式1<|x＋1|<3的解集为( )
A．(0,2)
B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
D [原不等式等价于1 ∴原不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)，故选D．] 3．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( ) A．(－∞，4) C．(1,4) B．(－∞，1) D．(1,5) A [①当x<1时，原不等式等价于1－x－(5－x)<2，即－4<2，恒成立， ∴x<1. ②当1≤x≤5时，原不等式等价于x－1－(5－x)<2，即x<4， ∴1≤x＜4. ③当x>5时，原不等式等价于x－1－(x－5)<2，即4<2，无解． 综合①②③知x<4.] 4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 2 [∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.] 5．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________． (－∞，－3]∪[3，＋∞) [由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3， 要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解， 只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.] (对应学生用书第204页) 绝对值不等式的解法 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图1中画出y＝f(x)的图像； (2)求不等式|f(x)|>1的解集． 图1 ?3?3x－2，－1＜x≤，2[解] (1)由题意得f(x)＝? 3 －x＋4，x＞，??2 故y＝f(x)的图像如图所示． x－4，x≤－1， (2)由f(x)的函数表达式及图像可知， 当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 1 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5. 3故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}， ???1 f(x)＜－1的解集为?x?x＜或x＞5 3??? ?? ?. ?? ???1 所以|f(x)|＞1的解集为?x?x＜或1＜x＜3或x＞5 3??? ?? ?. ?? [规律方法] 解绝对值不等式的基本方法 利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论； 当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式； 利用绝对值的几何意义，数形结合求解. [跟踪训练] (2018·海口调研)已知函数f(x)＝|x－2|. (1)求不等式f(x)＋x－4>0的解集； 2 (2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x) 【导学号：79140394】 [解] (1)原不等式可化为|x－2|>4－x， 即x－2>4－x或x－2 综上，原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}． (2)原不等式等价于|x－2|＋|x＋7|<3m的解集非空． 令h(x)＝|x－2|＋|x＋7|，即h(x)min<3m， 由|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，所以h(x)min＝9， 由3m>9，解得m>3， 所以m的取值范围为(3，＋∞)． 2 22 2 2 绝对值不等式的证明 ?1??1? (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝?x－?＋?x＋?，M为不等式f(x)＜2的解集． ?2??2? (1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. ??11 [解] (1)f(x)＝?1，－＜x＜， 221?2x，x≥.?2 11 当－＜x＜时，f(x)＜2； 22 1 －2x，x≤－， 2 1 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1； 2 1 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 2所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}． (2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)－(1＋ab)＝a＋b－ab－1＝(a－1)(1－b)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|. 2 2 22 2 2 2 2 [规律方法] 证明绝对值不等式三种常用方法 利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明. 利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明. 转化为函数问题，利用数形结合进行证明. [跟踪训练] (2018·长沙模拟(二))已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－a－1|. 3 (1)证明：f(x)≥； 4 (2)若f(4)<13，求a的取值范围． [解] (1)证明：f(x)＝|x＋a|＋|x－a－1| ≥|(x＋a)－(x－a－1)| ＝|a＋a＋1| 2 2 2 2?1?33＝?a＋?＋≥. ?2?44 ??a＋a＋1，a≥3，2 (2)因为f(4)＝|a＋4|＋|a－3|＝?2 ?a－a＋7，a<3，???a≥3， 所以f(4)<13??2 ?a＋a＋1<13? 2 2 ??a<3， 或?2 ?a－a＋7<13.? 解得－2 2 绝对值不等式的综合应用 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 当x<－1时，①式化为x－3x－4≤0，无解； 当－1≤x≤1时，①式化为x－x－2≤0，从而－1≤x≤1； 当x>1时，①式化为x＋x－4≤0， －1＋17 从而1＜x≤. 2 2 2 2 ??－1＋17 所以f(x)≥g(x)的解集为?x?－1≤x≤ 2?? (2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2， ? ?. ? 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库打包下载：2019届高考数学(理)一轮复习名师学案(共75套)北师大版在线全文阅读。
相关推荐：