C．{1,3} D．{1,5}
(2)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图1-1-1)表示的集合是( )
图1-1-1
A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
(3)设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A?B＝________.
【导学号：79140002】
(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A∩B＝{1}， ∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3. ∴B＝{x|x－4x＋3＝0}＝{1,3}． 故选C.
(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(?UN)＝(－3，－1)．
(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，结合数轴得A?B＝{0}∪[2，＋∞)．]
2
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
(对应学生用书第3页) [基础知识填充]
1．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
图1-2-1
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 2．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若p?q，且?/p，则p是q的充分不必要条件； (3)若p?/q且q?p，则p是q的必要不充分条件； (4)若p?q，则p是q的充要条件；
(5)若p?/q且q?/p，则p是q的既不充分也不必要条件． [知识拓展] 集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有： (1)若A?B，则p是q的充分条件，若A(2)若B?A，则p是q的必要条件，若B(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．( )
﹁
2
B，则p是q的充分不必要条件． A，则p是q的必要不充分条件．
(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．
(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q是p的必要条件说明p?q，所以p是q的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
π
2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
4
π
A．若α≠，则tan α≠1
4π
B．若α＝，则tan α≠1
4π
C．若tan α≠1，则α≠
4π
D．若tan α≠1，则α＝
4
π﹁﹁﹁﹁
C [“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠，
4π
所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]
43．“x＝1”是“(x－1)(x＋2)＝0”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A [若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x＝1或－2.]
4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．] 5．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 B [∵2－x≥0，∴x≤2. ∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.
∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件． 故选B.]
(对应学生用书第4页)
2
2
四种命题的关系及其真假判断 (1)命题“若a＞b，则a＞b”的否命题是( ) A．若a＞b，则a≤b C．若a≤b，则a＞b
2
2
2
2
B．若a≤b，则a≤b D．若a≤b，则a≤b
2
2
22
(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x＞1，则x＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题 1
D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题
22
x(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．该题中，p为a＞b，q为a＞b，故p为a≤b，q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a≤b，则a≤b.
(2)对于A，命题“若x＞1，则x＞1”的否命题为“若x≤1，则x≤1”，易知当x＝－2时，x＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x＋x－2＝0，11
故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，2
2
2
2
2
2
2
2
﹁
2
2
﹁
2
2
﹁
﹁
xx易知为假命题，故选B.]
[规律方法] 命题真假的两种判断方法 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. 利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断. 易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.) [跟踪训练] (2017·南昌十校二模)已知命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
( )
【导学号：79140007】
A．0 C．2
B．1 D．3
D [原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.]
充分条件与必要条件的判断 (1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a＞b”是“ln a＞ln b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(1)A (2)B [(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0. 设m与n的夹角为θ. 若存在负数λ，使得m＝λn， 则m与n反向共线，θ＝180°， ∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.
当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.
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