?11??a＋b＋a＋b? ＝2?＋?＝2???ab??ab?
?ab?
?ba?＝2?＋?＋4≥4
ba·＋4＝8 ab1111
(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，∴＋＋≥8.
2abab111?1??1?111
(2)∵?1＋??1＋?＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.
?a??b?abababab?1??1?∴?1＋??1＋?≥9. ?
a??
b?
用分析法证明不等式 (1)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥3； 111
(2)设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy.
xyxy【导学号：79140399】
[证明] (1)因为a，b，c>0， 所以要证a＋b＋c≥3， 只需证明(a＋b＋c)≥3.
即证：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明：a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤成立． 所以原不等式成立． (2)由于x≥1，y≥1， 111
要证x＋y＋≤＋＋xy，
2
2
22
2
2
2
2
2
2
a2＋b2b2＋c2c2＋a2
2
＋2＋
2
＝a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c时等号成立)
222
xyxy只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy). 因为[y＋x＋(xy)]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
2
2
2
＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因为x≥1，y≥1，
所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．
[规律方法] 分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”. [跟踪训练] (2018·广州综合测试(二))(1)已知a＋b＋c＝1，证明：(a＋1)＋(b＋1)＋162
(c＋1)≥；
3
(2)若对任意实数x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，求实数a的取值范围． [证明] (1)法一：因为a＋b＋c＝1，
所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)＝a＋b＋c＋2(a＋b＋c)＋3＝a＋b＋c＋5. 16222
所以要证(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥，
31222
只需证a＋b＋c≥. 3
因为a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca) ≥(a＋b＋c)－2(a＋b＋c)， 所以3(a＋b＋c)≥(a＋b＋c). 1222
因为a＋b＋c＝1，所以a＋b＋c≥.
316222
所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥.
3法二：因为a＋b＋c＝1，
所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)＝a＋b＋c＋2(a＋b＋c)＋3＝a＋b＋c＋5. 16222
所以要证(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥，
31222
只需证a＋b＋c≥. 3
121212222
因为a＋≥a，b＋≥b，c＋≥c，
93939312222
所以a＋b＋c＋≥(a＋b＋c)．
331222
因为a＋b＋c＝1，所以a＋b＋c≥.
3
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2
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2
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2
2
2
2
2
2
2
22216222
所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥.
31682
法三：因为(a＋1)＋≥(a＋1)，
931682
(b＋1)＋≥(b＋1)，
931682
(c＋1)＋≥(c＋1)，
93
168222
所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)＋≥[(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)]．
33因为a＋b＋c＝1，
16222
所以(a＋1)＋(b＋1)＋(c＋1)≥.
3(2)设f(x)＝|x－a|＋|2x－1|，
则“对任意实数x，不等式|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立”等价于“f(x)min≥2”．
?1?－x＋1－a，a≤x≤，1
2当a<时，f(x)＝?2
1
3x－a－1，x>.??2
?1?1
此时f(x)min＝f??＝－a，
?2?2
－3x＋a＋1，x
1
要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，必须－a≥2，
23
解得a≤－. 2
1?1??1??1?2
当a＝时，f(x)＝?x－?＋|2x－1|＝3?x－?≥2，即?x－?≥不可能恒成立．
2?2??2??2?3
??1
1当a>时，f(x)＝?2x＋a－1，≤x≤a，2
??3x－a－1，x>a.
1?1?此时f(x)min＝f??＝a－，
2?2?
1－3x＋a＋1，x<，2
1
要使|x－a|＋|2x－1|≥2恒成立，必须a－≥2，
2
5
解得a≥.
2
3??5??综上所述，实数a的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?. 2??2??
已知x，y，z均为实数．
(1)若x＋y＋z＝1，求证：3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33； (2)若x＋2y＋3z＝6，求x＋y＋z的最小值．
[解] (1)证明：因为(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)≤(1＋1＋1)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.
所以3x＋1＋3y＋2＋3z＋3≤33. 21
当且仅当x＝，y＝，z＝0时取等号．
33
(2)因为6＝x＋2y＋3z≤x＋y＋z·1＋4＋9，
18yz369222222
所以x＋y＋z≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z有最小值
72377718
. 7
[规律方法] 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. 11?222?12.利用柯西不等式求最值的一般结构为：a1＋a2＋…＋an)?2＋2＋…＋2?2
2
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柯西不等式的应用 ?a1a22an?＋1＋…＋2＝n.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件. 2222[跟踪训练] (2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a＋b＝4，c＋d＝16，证明：ac＋bd≤8.
[证明] 由柯西不等式，得(ac＋bd)≤(a＋b)(c＋d)．
因为a＋b＝4，c＋d＝16， 所以(ac＋bd)≤64， 因此ac＋bd≤8.
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第一节 集 合
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
(对应学生用书第1页) [基础知识填充]
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N(或N＋) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系 表示 关系 集合间的基本关系 相等 子集 真子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 符号语言 A＝B A?B AB A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 空集 3.集合的基本运算 图形表示 符号表示 意义 并集 交集 补集 A∪B {x|x∈A或x∈B} A∩B {x|x∈A且x∈B} ?UA {x|x∈U且x?A} [知识拓展] 集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2个，真子集有2－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A?A.
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