第五章 确定大地水准面形状的Stokes理论
重点讲授大地水准面的定义及性质；扰动位、大地水准面高、垂线偏差、重力异常及扰动重力的基本概念和重力测量基本微分方程；求解大地水准面上扰动位、大地水准面高、垂线偏差、重力异常及扰动重力的球函数法；各种重力归算方法（空间改正、布格改正、地形改正和均衡改正）的基本原理、比较及相应的重力异常概念。
1、大地水准面的定义及性质
（1） 水准面的定义
（2） 水准面的性质
任意点的重力方向垂直于通过该点的水准面，水准面之间不一定平行，既不相交也不相切，（3） 大地水准面
大地水准面的定义：如果在某曲面上重力位处处相等，则此曲面称为重力等位面，又称为水准面。设想海洋面处于静止状态，则海洋面上的重力必然垂直于海洋面，否则，海水必然会流动。因此，处于静止状态的海洋面与一个重力等位面重合。这个假想的静止海洋面向整个地球大陆内部延伸形成的封闭曲面，为大地水准面的经典定义。然而，海洋面不可能处于完全静止状态，通常用无潮汐平均海水面来近似代替，如此定义的大地水准面是与平均海水面最接近的重力等位面。大地水准面是高程测量中正高系统的起算面。 （4） 重力位水准面和铅垂线的曲率
重力位水准面的曲率：
，
若P点的切线平行于x轴，则，。 ， ,
水准面与O-xz平面的交线的曲率为：水准面与O-yz平面的交线的曲率为：定义平均曲率为：
，
铅垂线的曲率：
，
2、扰动位的作用及重力测量基本微分方程
（1）扰动位
同一点的重力位与正常重力位之差，即 扰动位具有引力位的性质。
（2）大地水准面高
大地水准面与平均椭球体表面之间的距离。
，（Bruns公式）
（3）垂线偏差
重力方向与正常重力方向之间的差异。垂线偏差描述了大地水准面的倾斜！
，
（4）重力异常
混合重力异常：
纯重力异常（或扰动重力）：重力测量基本微分方程：
3、大地水准面上及其外部扰动位的求解
以椭球面作为边界面，则在球近似下上述边值问题为：
（1） 球谐函数法
重力异常在球面上可用球谐展开式表示为：
系数、由可由球谐函数的正交性得到
式中为单位球面面元，。
假设正常椭球中心与地球质心重合且正常椭球的总质量与地球总质量相等，则地球外部扰动位也能展开为球谐函数级数形式：
将上式对求导，
顾及
则重力异常的球谐展开式可写成：
扰动位的球谐展开式也可以写为：
再将、的表达式代入上式并交换求和与积分的顺序，有
将球函数的加法公式应用于上式，有
记
则
这就是球近似下司托克斯重力边值问题的解。它表明：若已知大地水准面上的重力异常，则可以通过司托克斯积分求得地球外部的扰动位。特别，当时，则
其中称为司托克斯函数，习惯上称为广义司托克斯函数。它可利用大地水准面上的重力异常求得大地水准面上的扰动位。
司托克斯函数： 广义司托克斯函数为：
其中：为计算点至球面上流动点
，
的距离。 ，则司托
当计算点位于球面上（即大地水准面上）时：克斯函数变为：
（2） 积分法
假设有一辅助函数
为：
则
外部Poisson积分公式为：
改进的Poisson积分公式（不含零阶项和一阶项）为：
则上述边值问题的解为：
即
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