第三章 位理论基础
重点讲授引力位的定义、质点引力位、质面（单层和双层）引力位、质体引力位；均质球层、球壳及球体、圆平面层等典型物体的引力位及引力；引力位的性质；离心力位和重力位的定义及性质；位理论边值问题的基本概念；格林公式在求解位理论边值问题、证明位理论边值问题解的唯一性、重力法测定地球质量等方面的应用；Stokes理论和Stokes问题的基本概念。
1、质点引力及引力位
万有引力定律：
令，记，则上式等价于
引力在三个坐标轴上的投影为：
引力位：若存在一函数，使得该函数的梯度等于力，则该函数称为位函数。相应于引力的位函数叫做引力位函数，也简称为引力位。质点引力位可用公式表示如下：
2、质点系的引力位
3、质体的引力位
4、质面的引力位
单层位：
双层位：，
5、几种典型物体的引力位与引力
（1） 均质球层的引力位与引力
，
（2） 均质球壳及球体的引力位与引力
，
（3） 平面层的引力位与引力
，
，，，
6、引力位的性质
（1） 正则性：
，
（2） 位的连续性：质体引力位、单层引力位在全空间是连续的，双层
位在穿过层面时不连续。
（3） 位的一阶导数的性质：质体引力位的一阶导数在全空间是连续
的；单层引力位的一阶导数在层面上是不连续的。
（4） 调和性质：质体引力位的二阶导数在质体表面是不连续的；并且
满足如下的关系式：
，
，
点在质体外部 点在质体内部
7、离心力位和重力位
离心力位：重力位：性
质
：
，
，，
离心力位和重力位不是调和函数！
8、位的边值问题
（1）边值问题的基本概念
第一类边界条件 也称为狄里赫勒条件。即位在边界上是已知的连续函数，即
其中为物体的边界面，为已知函数。
第二类边界条件 也称为牛曼条件。即位的法向导数在边界上为已知函数，即
其中为曲面的外法向。
第三类边界条件 也称为混合条件，在物理大地测量学中也称为司托克斯条件，即
其中、为常数并且。
附加条件：指有界性质、周期性质、连续性质、衔接条件、正则性质等等，它们在某些情况下对问题的求解将带来帮助；这些条件有时直接给出表达式，有时被默认存在；在物理大地测量学中，一般情况下前面三个性质总认为应该被满足。
假设所讨论的物体的边界面一般是封闭的曲面，调和函数存在的区域大多被限制在一部分空间之中，或者是所包围的内部区域，或者是它的外部。相应的边值问题分别称为内部边值问题或外部边值问题。外部边值问题一般应有解在无穷远处的性质：正则性条件，该条件以保证解具有唯一性。例如：和同时满足和，这里为单位球面，显然后者为正则函数而前者不是，即只有后者为外部边值问题具有正则性质的解。因此，外部边值问题可写成为：
内部边值问题可写成：
其中：常数、满足，这里的为已知函数。
位的边值问题是否有解存在？何种情况下求得的解有实际意义？这些问题就是数学上的所谓适定性；即如果边值问题存在唯一的、稳定的解，则称该边值问题是适定的。如果一个边值问题根本不存在解，花功夫去求解是毫无意义的；如果求得的解不唯一，则必须设法给求得的解结合物理实际加上一些限制，去掉那些不真实的解，使得解更符合实际；所谓稳定，是指当已知函数有微小的扰动时，问题的解只有微小的扰动。如果解不稳定，即已知函数存在微小误差时，方程的解产生较大的误差；因此，这给方程的求解等提出了更高的要求，否则将失之毫厘，谬之千里。
（2）格林公式及其应用
高斯公式：
内部格林公式：
；
第一格林公式：第二格林公式：
；
第三格林公式：外部格林公式：
，
第一格林公式：
第二格林公式：第
三
格
林
公
式
：
，
格林公式的应用： (a) 重力方法确定地球质量
在内部第三格林公式中令，则
在外部第三格林公式中令，则
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