物理大地测量学教案(5)

在内部第二格林公式中令取

，将

，则。

代入上式，则有：

若取，则有。

(b) 边值问题解的唯一性分析

证明位理论第一边值问题的解是唯一的：假设解不是唯一的，则在个调和并在无穷远处正则的函数

和

同时满足

，则也是在外调和并在无穷远处正则的函数。 将外部第一格林公式应用于，并在该式中令，则有

根据条件在

内

及在

面上

，则上式为：

外有两

上的边界条件，记

要使上式成立，则必须在

外任意点上都满足下列条件：

即为常数。又根据是在无穷远处的正则函数，则只能等于零，亦即这证明解是唯一的。

(c) 用格林公式解外部边值问题

，

将地球引力位应用于外部第三格林公式，则有：在外部第二格林公式中假设

。

基本公式：

和为中的调和函数，则

格林函数：第一边值问题：第二边值问题：第三边值问题：(d) Poisson积分

，，，

，

格林函数：

证明：①

，②

(e) 应用于地球表面的重力位

在内部第三格林公式中取为地球重力位

，则有：

上式右边第一个积分就是引力位，即

整理得：

在地球表面上，。顾及，这里为曲面上点处的法向，而是过点处的重力等位面（在该点处）的法向。最后得到：

这是一个关于重力位

(f) 应用于水准面

的积分方程，该式在莫洛金斯基理论上甚为重要。

若是水准面，或者说在上有；此时，公式化为

当计算点位于地球面（水准面）外时，，上式变为

不难看出，引力位为：

当计算点位于地球面（水准面）内时，，上式变为

(g) Stokes定理与Stokes问题

Stokes定理：英国物理学家司托克斯1849年提出的，即若已知一个水准面形状、面上的位（或它内部所包含的物质的总质量）及该物体绕某一固定轴的旋转角速度，则该水准面上及其外部空间任意点的重力位都可唯一确定，并且不需要知道物体内的质量分布情况。

Stokes问题：已知水准面上的重力和重力位（或地球的总质量），以及地球的自转角速度，需求定水准面的形状及其外部的重力位。

思考题

1、设为向经，求半经为

力位及引力。 2、求半经为

、高度为

的均质圆柱体对内部和外部任意一点的引力位及引力。 、密度为

的球体对外部任意一点的引

3、证明位理论外部第二边值问题的解是唯一的。 4、地球引力位有何性质？

第四章 正常重力场

重点讲授引进地球正常重力场的目的意义及基本要求；地球重力位的球函数展开式及其零阶项、一阶项和二阶项的物理意义；利用Laplace方法和Stokes方法确定地球正常重力场的基本原理；实用正常重力公式及正常重力场的基本性质。

1、为什么要引进正常重力场？

，地球形状和地球的密度未知！

确定地球正常重力场的主要意义在于：将地球重力场的求解归结为扰动场或异常重力场（微小量）的求解，保证了其解的存在性，并方便求解。

基本要求：

? 应尽量地符合地球外部的重力场，即不改变地球外部的重力和重力

位；

? 应尽量不改变大地水准面的形状；

? 不改变地球重力场的总质量和旋转角速度； ? 椭球体表面为水准面，且外部没有物质存在； ? 地球质心与椭球中心重合。

2、重力位的球函数展开式

（1）矩的概念

质体的阶矩定义为：零阶矩：

，表示质体的总质量；

一阶矩：，质体对三个坐标面的一阶矩分别等于质体质心的三个坐标与质体质量的乘积。 二阶矩：矩）。

，质体对坐标原点的转动惯量（惯性

质体对三个坐标面的转动惯量为：，，

质体对三个坐标轴的转动惯量为：

对于坐标面的转动惯量与对于坐标轴的转动惯量之间存在以下关系：

离心矩或惯性积：

惯性椭球和主惯性轴：

质体对通过坐标原点的任意轴的转动惯量为：

设，则，，

（2）地球引力位的展开式

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