工程制图(8)

例5－3 过点K 作平面平行于已知平面ΔABC 。

分析：过点K作平面平行于ΔABC 平面时，只要过已知点作两相交直线分

别平行于ΔABC 的任意两条边即可。

§4－2 直线与平面以及两平面相交

一、相交元素中有积聚投影的情况

（一）、特殊位置直线与特殊位置平面相交 1、一般位置直线与特殊位置平面相交

直线与平面不平行，则必相交。直线与平面相交，只有一个交点，它既在直线上，又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。

（1）求交点

由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出，如图(a)所示，直线AB 与铅垂面CDEF 相交，交点K 即是直线AB 与平面CDEF 的共有点。如图(b)所示，因铅垂面CDEF 的水平投影积聚成直线d(c)e(f),所以，交点K 的水平投影为ab 与d(c)e(f) 的交点k，由k 可求出其正面投影k',即求出了直线AB 与铅垂面CDEF 的交点K(k,k')。

（2）判别可见性

正面投影中a'b' 有一段和铅垂面CDEF 相重合，这段直线存在可见性问题。可见部分与不可见部分的分界点为交点K 。从水平投影可知，ak 位于d(c)e(f) 的

左前方，所以正面投影中a'k' 与c'd'e'f' 重叠部分k'g' 一段为不可见，应画成虚线。

2.投影面垂直线与一般位置平面相交 （1）求交点

如图(a)所示，直线AB 为铅垂线，其水平投影有积聚性。因为直线AB 与平面ΔCDE 的交点在直线AB 上，故交点K 的水平投影k 必在直线AB 的水平投影a(b)上。因此，交点的水平投影是已知的。交点K 又在平面ΔCDE 内，故由K 的水平投影k 利用面内取点的方法，即可求得交点K 的正面投影k'，如图(b)所示。

可见，求某一投影面垂直线与一般位置平面相交的交点，可归结为在面上取点。

（2）判别可见性

从水平投影可知dc 在a(b)(k) 的前方，所以d'c' 遮住a'k',a'k' 与Δc'd'e' 的重叠部分不可见（用虚线表示），b'k'可见。

（二）、平面与特殊位置平面相交 1、相交的形式

（1）一般位置平面与铅垂面相交 其交线投影与铅垂面的积聚投影重合。 （2）、两平面均为同一投影面的垂直面相交

其交线定是该投影面的垂直线，两平面积聚性投影的交点即是两平面交线的积聚投影。

如下图，求平面P 与平面Q 的交线。

分析：平面P 和Q 都是铅垂面，其交线必为铅垂线，并且积聚在它们水平投影的交点处。

2、可见性判断

可见性判断可利用投影积聚性直接判定。 3、交线的形式

全交：交线的两个端点在其中一个平面的两条轮廓线上。 互交：交线的两个端点在两个平面的两条轮廓线上。 二、相交元素中无积聚投影的情况

（一）、一般位置直线与一般位置平面相交 采用辅助平面法，又叫线面交点法。其步骤为： 1、含线作面； 2、面面交线； 3、线线交点。

然后利用交叉直线重影点的可见性判断方法进行可见性判断。 如教材中图4－14所示。 （二）、两一般位置平面相交

仍是先确定交线上两个点的位置，然后连接他们即得到交线。 其求解方法有：线面交点法和辅助平面法（三面共点法）。 1、线面交点法

如教材中图4－15所示。 2、辅助平面法（三面共点法） 如教材中图4－16所示。

§4－3 直线与平面、两平面垂直

一、直线与平面垂直

直线与平面垂直的几何条件是：该直线垂直于平面上的任意两条橡胶直线。 根据初等几何学可知，如果一直线垂直于一平面，则此直线一定垂直于该平面内的一切直线。

图中的直线AK是垂直于平面P的，那么它一定也垂直于该平面内过垂足的水平线CD。因此，可得依据直角投影定理可知ak⊥cd。由于同一平面内的一切水平线(包括水平迹线)都互相平行，例如CD//EF//PH，故得ak⊥ef、ak⊥PH。因此可得下列结论：如果一直线垂直于一平面，即该直线的水平投影一定垂直于

该平面内水平线的水平投影。同理，可得结论：如果一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影一定垂直于该平面内正平线的正面投影。

根据上述结论，我们可以在投影图上解决有关直线与平面垂直的作图问题。 例4-4 求点D到△ABC的距离(图4-12a)。

分析：距离问题是垂直问题。先过D作ABC的垂线，再求出垂足K。可利用直角三角形法求出DK的实长。

作图：

（1）在△ABC内引一条正平线AF和一条水平线AL； （2）作DE⊥△ABC（图4－12b）； （3）求出垂足K＝DE∩△ABC；

（4）利用直角三角形法求得DK的实长D0k′。

例4-5 通过已知点A作一直线，垂直于一般位置直线BC。

分析：空间两互相垂直的一般位置直线，其投影并不反映垂直关系。因此，不可能在投影图上直接画出。

为解决这问题，我们先把过A点且与直线BC垂直的所有直线都作出来。即过A作平面Q与BC垂直，再求出交点K。∵AK∈Q ∴AK⊥BC，故AK为所求。

作图：

（1）作AD⊥BC，AE⊥BC（图4－13b）; （2）求交点K＝BC∩△ADE,Ak即为所求。 二、两平面垂直

平面与平面垂直的几何条件是：一平面上有一条直线垂直于另一平面。 平面与平面垂直：两平面垂直相交是两平面相交的一种特殊情形。如果一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面。

例4-6 包含点M作平面与△ABC垂直。

分析： 过点M作MF⊥△ABC，包含MF的平面即为所求。 作图：

（1）在△ABC内引一条正平线CD（先作cd，再作c＇d＇）和一条水平线CE（先作c＇e＇，再作ce）；

（2）作MF⊥△ABC(,m＇f＇⊥c＇d＇, mf⊥ce); （3）作MG，则GMF为所求。

§4－4 点、线、面的综合作图

一、要点简述

空间几何问题总的可分为两部分。即：

（l）点、线、面间的从属、平行、相交、垂直等关系的定位问题。 （2）求距离、角度、线段实长及平面形实形等度量问题。

按此思路，我们可将已学过的前述内容作一简要的归纳。 1、定位问题 （1）从属问题

1）点在线上的投影规律，中点的投影仍是直线投影的中点，分线段成为定比；

2）点在面上和线在面上的几何条件及其投影图画法，平面上的直线可以是一般位置也可以是特殊位置，最常用的有投影面平行线，如水平线、正平线，还有平面内对相应投影面的最大斜度线，当要求解平面与投影面所成的角时，就要运用最大斜度线来解题。

（2）平行问题

l）两直线相互平行的投影规律；

2）一直线和一平面平行的几何条件及其投影作图，特殊情况为直线平行于投影面，亦即投影面平行线的投影规律及其画法；

3）两平面相互平行的几何条件及其投影作图，特殊情况下，其中一平面为平行面就成为投影面平行面。

（3）相交问题

（1）两相交直线的投影规律以及与两交叉线的区别，当两相交线之一为投影面平行线时，则可适用直角投影定理；

2）直线与平面的相交，当线面之一有积聚性时，交点可由积聚性的投影直接求得，如二者均无积聚性，则需用到求线面交点的三个作图步骤，这也是在画图中使用最多的基本作图方法之一，当平面为有限的平面形时，则在求出交点后还应利用重影点来判别可见性；

3）两平面相交求交线，当两相交平面之一有积聚性时，则可由积聚性的投影直接求得交线的投影。如两平面均无积聚性，则可用线面交点法或三面共点法求交线。求交线也是画法几何中使用极多的一种作图。特别是三面共点法不仅适用于两相交平面，还适用于今后的截交与相贯等问题，故必须牢固掌握。和上述线面交点一样，当平面以有限的平面形形式出现而交线又在它们相交的轮廓内时，则求出交线后还应判别两平面形的可见性。

（4）垂直问题

可以看作是相交的特殊情况即互为直角的相交。

1）两直线的相互垂直，可以是垂直相交即正交，也可以是交叉垂直，应注意其几何条件及投影作图；

2）一直线和一平面的垂直，在投影图上反映为直线的各投影应分别垂直于平面的同名迹线，或代表迹线方向的正平线或水平线，这也是解题时常用的一种

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