工程制图(5)

二、两直线相交

相交两直线的同面投影都分别相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影。反之，亦然。

一般情况下，两直线在空间是否相交，根据两面投影就可以直接判断，如下图所示。但如果两直线中有一条直线平行于某一投影面，则要加以判断。

例8 已知两直线AB、CD相交，试补全投影。

分析：从图(a)可知，a'b' 与c'd' 相交于k'，利用相交两直线的投影规律就可求得cd 。即过k' 作c' c 的平行线交ab 于k，连ck 并延长求得d 。

三、两直线交叉 在空间既不平行，也不相交的两直线称为交叉两直线。交叉两直线的投影不具备平行或相交两直线的投影特性。

交叉两直线的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影，不符合点的投影规律。此时，两直线投影的交点实际上是两直线对投影面的重影点，按照重影点检定它们的可见性。

交叉两直线有一个投影或两个投影平行：交叉两直线可能有一个或两个投影平行，如图所示，但不会有三个同面投影平行。

两直线在三个投影面上的同面投影有四种模式： ① 各组同面投影都分别互相平行。（平行） ② 有的同面投影相交，有的同面投影平行。（交叉） ③ 各组同面投影都分别相交，且同面投影的交点是同一点的投影。（相交） ④ 各组同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影。（交叉） 交叉两直线中重影点的分析：如图中水平投影ab 和cd 的交点1(2)，其实是AB 直线上的I 点与CD 直线上的II 点对水平投影的重影点。同理，3'(4')是CD 直线上的III 点与AB 直线上IV 点对正面投影的重影点。根据重影点可见性的判别方法可知，水平投影中，位于AB 线上的I 点可见，而位于CD 线上的II 点不可见，即投影为1(2)。正面投影中，位于CD 线上的III 点可见，而位于AB 线上的IV 点不可见，即投影为3'(4')。

§2－6 一边平行于投影面的直角的投影

投影特性共有三点：

1、当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。 2、当直线的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。 3、当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜与投影面时，在该投影面上的投影仍是直角（直角投影法则或定理）；而另一边垂直于投影时，在该投影面上的投影称为一条直线。

直角投影法则或定理的三个条件：①空间两直线垂直，②一边平行于投影面，③投影仍互相垂直。由任意两个条件，即可推出第三条成立。

因此，得出逆定理：若两直线在某投影面的投影互相垂直，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线必定互相垂直。

另外：若两直线互相垂直，它们在某投影面上的投影也互相垂直，则此两直线中至少有一条直线平行于该投影面。

讲教材例2－6、例2－7。

§2－7 直线的投影变换 直线由两点确定，求直线的投影变换，只需求出直线上两个点的投影变换，连接起来就得到该直线的投影变换后的投影。

前面已经讲过，设置新投影轴必须遵循的原则是：新投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面。故在投影图上，新投影面的设置，就表现为新投影轴的设置。下面看该问题的几种情况。 1．把一般位置直线变为投影面平行线

其方法就是使建立的新投影轴平行于空间直线，利用正平线或水平线的投影特性，从而得到线段的实长及其与投影面的夹角。

如图所示，直线AB在H／V体系中是一般位置直线。如何变换投影面使AB变成平行线呢?

变换V面为V1面，并使 V1∥AB。那么，直线AB在H／V1体系中就成为平行线（正平线）。AB的新投影a1? b1?必反映实长；a1? b1?与O1 X1轴的夹角必等于AB本身对H面的倾角?。

作图步骤：

（1）引新轴O1 X1∥ab；

（2）作出两端点A和B的新投影，得到a1? b1?。 AB在V1面上的投影反映实长和?角。 b′b′BOO1a1βb11Ob′1a′XVHαbOO1H1X1Vb′a′ba′Xbαa′1XVHaHXVa′111OAaXαb′11a（a） (b) (c) 图 把一般位置直线变为投影面平行线

如果变换H为H1，并使H1∥AB ，那么AB在H1／V体系中也成为平行线（水平线）。

作图步骤如图所示（略），AB在H1面上的投影反映实长和?角。因此,若求?，则应变换V面，若求?，则应变换H面。

注：O1X1只需与ab平行，它们间的距离对于求AB的实长是没有影响的。 把一般位置直线变为投影面平行线的作图方法小结：

（1）将一般位置直线变换成新投影面的平行线只需进行一次变换。 （2）新投影轴应平行于直线的某一投影（X1//ab或X1//ab）。 2.将投影面平行线变换为投影面的垂直线

只需要建立一个新的投影面与该平行线垂直。

若为正平线，新投影面应垂直于V面，变为铅垂线；若为水平线，新投影面应垂直于H面，变为正垂线。 3．把一般位置直线变为投影面垂直线

如果让某一新投影面与一般位置直线垂直，那么，该投影面与原有的两个投影面都不垂直，不符合建立新投影面的基本条件。

故将一般位置直线变换成新投影面的垂直线经一次换面是不能实现的！ 投影面平行线能否经一次变换成为新投影面的垂直线呢？显然是可以做到的。

图中新投影面H1⊥AB，此时必定H1⊥V。在新投影面体系H1- V 中，AB成为H1的垂直线。 根据投影面垂直线的投影特性，新投影轴X1⊥ab，AB在H1内的投影a1b1积聚成一点，见图。 H1X1VVb′a′BXAa1( )b1OababXa′VHb′1O 图 把投影面平行线变为投影面垂直线 因此，将一般位置直线变换成投影面垂直线的作图步骤为： （1） 将一般位置直线变换成投影面平行线； （2） 将投影面平行线变换成投影面垂直线。 作图步骤：

（1）将AB变换成V1面的平行线；

作新投影轴X1//ab；求出AB在 V1内的投影a1?b1?。 （2）将AB变换成H2面的垂直线。

作新投影轴X2⊥a1?b1?；求出AB在H2面内的投影a2b2，a2b2积聚成一点。

X1O1a1( )b1Oa′a′b′b′a′1XVHa a( )b22ABO1OXabX1X1HV1b′1a′1X2V1H2O2 a2b2( )b′1b（a） (b) 图 把一般位置直线变为投影面垂直线

§3－1 平面的表示法

平面的投影表示有两种方法：一种是用平面上的点、线和图形的投影来表示，称为平面的几何元素表示法；另一种是用平面与投影面的交线来表示，称为平面的迹线表示法。

一、平面的几何元素表示法

平面的空间位置可由下图所示的任何一组元素来确定。 1）不在一直线上的三点，如图(a)所示的点A、B、C； 2）一直线与直线外一点，如图(b)所示的点C 和直线AB； 3）相交两直线，如图(c)所示的直线AB 和AC； 4）平行两直线，如图(d)所示的直线AB 和直线CD；

5) 任意平面图形，如三角形、四边形等，如图(e)所示的ΔABC。 上述五种表示平面的形式可以互相转换，即从一种形式转换为另一种形式。

二、平面的迹线表示法

空间平面与投影面的交线（共有的线）即为迹线。 用迹线表示的面即为迹线平面。

平面与H、V、W投影面的交线分别称为平面的水平迹线、正面迹线和侧面迹线，其符号为PH、PV、PW。PX为PH、PV两迹线交于OX轴的同一点，称为迹线共点。

迹线是平面和投影面的交线，在投影面上的投影位于迹线原处，在其它面上

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