工程制图(7)

例5 已知直线段AB 在ΔDEF 内，正面投影如图所示，求水平投影。 分析：已知AB 在ΔDEF 内，所以a'b' 属于Δd'e'f'，ab 属于Δdef。

二、平面上的投影面平行线

平面上的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条件，又符合投影面平行线的投影特性。

例 6 一般位置平面内的投影面平行线（见表3-2）

三、平面的最大斜度线

平面上与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大斜度线。在平面上对某一投影面的最大斜度线有无数条，它们是平面上的一组互相平行的直线。

平面上对某一投影面的最大斜度线，是与平面上的该投影面的平行线和迹线相垂直的直线；它与该投影面的倾角，也就是平面对该投影面的倾角。

§3－4 平面的辅助投影

1．把一般位置平面变为投影面垂直面

根据两平面垂直的几何条件可知，要把一个一般位置平面变为新投影面的垂直面，只需使属于该平面的任一条直线垂直于新投影面。依前面所讲，把投影面平行线变为垂直线只需依次换面。

因此，我们可将已知平面内的一条投影面平行线（水平线或正平线）作为辅助线，变换为新投影面的垂直线则可。

如图所示，平面ABC在H／V体系中是一般位置平面,如何变换投影面使ABC变成垂直面呢? 1HX1Vb1βa 1( ) 1 c1b′1′垂直 a′Xb1O c′YcOYca1

（a） (b)图 把一般位置平面变为投影面垂直面

为了把一般位置平面变为投影面垂直面，只需使该平面内的任意一条直线垂直于新投影面，并且新投影面还要满足与旧投影面垂直的关系，因此，若变换H面，则要在平面内取一条正平线，作与该正平线垂直的新投影面，该新投影面与V面满足垂直关系，则平面ABC成为新投影体系V/H1中的垂直面（铅垂面），且反映该平面与V面的真实夹角β。

作图步骤：

（1）在?ABC内，任意作一条正平线AⅠ， （2）选新轴O1X1⊥a? 1? （3）作出三角形端点A、B和C的新投影，得到a1b1c1。

ABC在H1面上的投影具有积聚性且反映三角形与V面的真实夹角β。 思考：若变平面为正垂面，且求角?，作图过程如何? 把一般位置直线变为投影面垂直面的作图方法小结：

（1）将一般位置平面变换成新投影面的垂直面只需进行一次变换。 （2）新投影轴应垂直于平面内的平行线的某一投影。 （3）若求?，则应变换V面，若求?，则应变换H面。 2.将投影面垂直面变换为投影面的平行面

新投影面要平行于已知垂直面。

若已知为铅垂面，则新面V1⊥H面；若已知为正垂面，则新面V1⊥V面。

c3．把一般位置平面变为投影面平行面

如果要把一般位置平面变为投影面平行面，只更换一次投影面也是不行的。因为若取新投影面平行于一般位置平面，则这个新投影面也一定是一般位置平面，它和原体系的哪一个投影面都不能构成两面直角体系。

要解决这个问题，必须更换两次投影面。第一次把一般位置平面变为投影面垂直面，第二次再把投影面垂直面变为投影面平行面。 作图步骤：

（1） 将一般位置平面变换成垂直面 （2） 将垂直面变换成平行面

取OX2∥b1a1c1作出三顶点在V2面上的新投影a2?b2?c2?，则?ABC 变换成正平面，?a2?b2?c2?便反映三角形ABC的实形。

a′b′XVHbac′ l ( )cHXVb′l′Oa′VXHabιc′Oa′a′k′g′b′Oba1O

图 把一般位置平面变为投影面平行面

思考：若变一般位置平面为水平面，作图过程如何?

把一般位置直线变为投影面平行面的作图方法小结：

（1）将一般位置平面变换成新投影面的平行面需进行二次变换。

（2）求平面的实形，既可先变换V面，将平面变换成水平面，又可先变换H面，将平面变换成正平面。 4、综合举例

【例题1】过G点作直线与直线AB垂直相交（如图所示）。

cg′XVHb′OXggkbO1aHXV1b′1g′1k′1

图 过G点作直线与直线AB垂直相交

分析：根据直角投影定理可知，若互相垂直的两条直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则此两条直线在该投影面上的投影仍互相垂直。由此可知，由G点向直线AB作垂直相交的直线，必须先把AB直线变为投影面平行线才便于作图。

(a)(b)a′1 作图步骤：

(1) 作O1X1∥ab,求出a1?b1?、g1?。 (2) 过g1? 作g1?k1?⊥a1?b1?。

(3) 根据变换规律返回旧体系得gk、g? k? ，即为所求直线GK。

【例题2】求?ABC与?ACD两平面的夹角。

c′XVHb′d′dcAQDO1ObX2HVH21X1V1ab′1a′1d′1c′1PCa( ) cBbφdb2d2φc2( ) a 2(b)

图 求?ABC与?ACD两平面的夹角

分析：如图（a）所示，当两相交平面P和Q同时垂直于S面时，P、Q在S面上的投影即积聚为两直线段ba(c)和da(c)。而它们的夹角?bad即等于P、Q两平面的夹角?。可见在投影图上直接反映垂直两平面的夹角真实大小的条件是：两平面同时垂直某一投影面。为此，可将两平面的交线变换成投影面垂直线。对于一般位置直线来说，需两次换面。 作图步骤：（如图（b）所示）

（1）作O1X1∥两平面的交线ac，求出?a1?b1?c1?和?a1?c1?d1?。 （2）作O2X2⊥a1?c1?，求出?a2b2c2和?a2c2d2。

(3) 由于AC⊥H2，两个三角形在H2面上都变换为投影面垂直面，故a2b2c2和a2c2d2积聚成为相交两直线，此时? b2c2d2 即等于两平面的夹角?。

§4－1 直线与平面以及两平面平行

一、直线与平面平行

(a)从立体几何中知道，若已知一直线和某平面上的任一直线平行，则此直线平行于该平面。如图所示，直线DE 平行于ΔABC 平面内的直线FG，则直线DE 平行于ΔABC 平面。

O2

直线与平面平行的几何条件：直线平行于平面上的一条直线。

例 5-1 已知平面ΔABC 及其平面外一点M 的投影，如图所示，试过点M 作一正平线MN (长度任取)平行于ΔABC 平面。

分析：先在ΔABC 内作一条正平线，再经过点M 作一直线平行于这条直线，则过点M 所作的直线便是平行于ΔABC 平面的正平线。又因为ΔABC 内所有的正平线都是相互平行的，所以过点M 只能作一条正平线平行于ΔABC 。

例5-2：下图，求平面平行于直线CD，（平面过点A） 解：1）过点A，作AM//CD 2）过点A，作AL//CD 讨论：本题有无数解。

二、两平面平行

两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。

从立体几何中知道：如果一个平面内相交的两直线，对应地平行于另一平面内相交的两直线，则这两个平面相应平行。如图所示，P 平面内两相交直线AB、BC，对应地平行于Q 平面内两相交直线A1B1、B1C1，则P 平面平行于Q 平面。

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