1989-1994年高考数学试题全国卷(8)

历年高考数学试题整理 （自我） 试卷版

(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;

(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.

出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.

河北迁安一中

(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4; (Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.

1993年试题(理工农医类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B (7)B (8)A (9)A

(10)D (11)A (12)C (13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

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(19)2 (20)17.3 (21)4186

三、解答题.

(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.

(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.

解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:

根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.

由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.

河北迁安一中

(Ⅱ)解法一:

过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离. 连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC. ∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影. 又 l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有 AE⊥l.

由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1, ∵ l∥AC.

作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,

在Rt△A1AE中,

∵ A1A=1,∠A1AE=90°,

解法二:

同解法一得l∥AC.

由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,

以下同解法一.

(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.

解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.

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(c,0)和(x0,y0).

∵ tgα=tg(π-∠N)=2, ∴ 由题设知

解法二:

河北迁安一中

(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.

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(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力. 证法一:

依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式 △=a2-4b≥0.

平方得 a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2, 由此得 -4(4+b)<8a<4(4+b), ∴2│a│<4+b.

(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,

河北迁安一中

4±a>0;

且 △=a2-4b

∴ -2<α≤β<2,

得 │α│<2,│β│<2. 证法二:

(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.

因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2. 故必有f(±2)>0,

即4+2a+b>0,2a>-(4+b); 4-2a+b>0,2a<4+b. ∴2│a│<4+b.

(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ① 及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②

由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.

若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾. 综上所述α,β均落在(-2,2)内. ∴│α│<2,│β│<2.

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1994年普通高等学校招生全国统一考试 数学

(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题共65分)

一、选择题:本大题共15小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则

(A){0} (B){0,1} (C){0,1,4} (D){0,1,2,3,4} 【 】

(2)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 (A)(0,+∞) (B)(0,2) (C)(1,+∞) (D)(0,1) 【 】

(A)双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆 【 】 (4)设θ是第二象限的角,则必有

【 】

(5)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成

(A)511个 (B)512个 (C)1023个 (D)1024个 【 】

(A)y=sin2x+cos4x (B)y=sin2xcos4x

河北迁安一中(C)y=sin2x+cos2x (D)y=sin2xcos2x【 】

(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

【 】

∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是

【 】

(9)如果复数z满足│z+i│+│z-i│=2,那么│z+i+1│的最小值是

【 】

(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有

(A)1260种 (B)2025种 (C)2520种 (D)5040种【 】 (11)对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是

【 】

【 】

(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是

【 】

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