2012年武汉市中考数学知识要点解读(4)

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 21．【图形变换】（1）图形的平移、旋转、轴对称的画法，重点要注意旋转90°的画图，区

分旋转方向（注意：通过对应点的坐标确定平移的方向和平移量）； （2）根据画图写出特征点的坐标；

（3）第（3）问可能涉及的考点：①点旋转经过的路径；②线段旋转扫过的

面积；③两种图象变换后得到的两个图形之间存在的变换关系；④设

计第四个图形，使四个图形成某种变换.

例1．如图所示，每一个小方格都是边长为1的单位正方形.△ABC的三个顶点都在格点上，

以点O为坐标原点建立平面直角坐标系.

（1）点P（m，n）为AB边上一点，平移△ABC得到△A1B1C1，使得点P的对应点P1的坐

标为（m-5，n+1），请在图中画出△A1B1C1，并写出A点的对应点A1的坐标为 ；

（2）请在图中画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A点的对应点

A2的坐标为 ；

（3）在（2）的条件下，求线段BC在旋转过程中扫过的面积.

例2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系

后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A点的对应点A1的坐标为 ； （2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出A点的对应点

A2的坐标为 ；

（3）①△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某条直线成轴对称吗？若是，请画出所有的对称轴；

②△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称吗？若是，写出所有的对称中心点的坐标.

例3．如图，在直角坐标系中，已知A点坐标是（-3，2）．

（1）把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个

单位得到△A1B1C1．请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕点（1，1）逆时针旋转90°得到

△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，若P（a，b） 为△ABC的边AC上一点，观察图中△ABC与 △A2B2C2对应点坐标之间的关系，请直接写出

P点在△A2B2C2的边A2C2上对应点的坐标为______．

（3）在上述两次图象变换中，点A→点A1的路径的长度比点A→点A2的路径的长度

长 单位．（结果保留根号和?）

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☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 22．【圆的证明与计算】 例1．如图，以菱形ABCD的边AB为直径作⊙O，⊙O交对角线BD于点E，交边BC于点F，

过点E作BC的垂线分别交AD、BC于P、Q两点. （1）求证：PQ为⊙O的切线；

（2）若PQ=4，BD=45，求sin?ADC的值.

例2．如图1，等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=25，O为腰AC上的一个动点，以O为圆心OA

为半径作⊙O交AB于点P，PD⊥BC于点D.

（1）求证：PD为⊙O的切线；

（2）如图2，当O点运动到⊙O恰好与BC相切时，设切点为E点， 连接CP，求tan?BCP的值.

E

C

BDPOA

图2图1

例3．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点

E，F在DA的延长线上，且AF=AD． （1）求证：BF是⊙O的切线；

4CD（2）若cos∠ABF= ，求的值．

5 BD

例4．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，以点A为圆心，AB为半径的圆，交BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）如果BE=4，CE=2，求cos?B的值．

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☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ ??CD?，CE⊥AD于点E. 例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB于点H，若AH=3，BH=5，求线段CE的长.

例6．如图，在△ABC中，AB＝AC，M为△ABC的三条角平分线的交点，O为AC边上一点，经

过C、M两点的⊙O交AC于另一点D．

（1）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）延长DM交BC于点N，若AB=6，BC=4，求

BN的值． CN例7．如图， AB为⊙O的直径， AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延

长线上一点，且CE=CB．

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）连接AE并延长线与BC的延长线交于点G，若AB=25，AD=2，求△CEG的面积．

C

AD DFE O O GBC BA例8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，点O在对角线AC上，以OA的长为半

径的⊙O过点D，与AC交于点F，且∠CAB=∠DCB． （1）求证：CD为⊙O的切线；

2，BC=2，求⊙O的半径． 2例9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，

AB=BC，以A为圆心AD为半径作半圆⊙A. (1)求证：直线BC是⊙A的切线；

(2)设BC与⊙A相切于E点，连接AE、BD交于点F， DE4若tan?ABC?，求tan∠ADC.

AE3（2）若tan∠ACB=DCAB2012年武汉市中考数学知识点解读 第 18 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 23．【二次函数的应用】

（1）经济类问题；ab型或a±b型

例1．某批发商以每件50元的价格购进1200件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了

300件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出300件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出15件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元． （1）填表（不需化简）：

时 间 第一个月 第二个月 清仓时

单 价（元） 80 40 销售量（件） 300

（2）设批发商销售这批T恤的获得的总利润为y（元），试求出y与x之间的函数关系

式，并写出x的取值范围；

（3）当第二个月的销售单价为多少元时，才使得销售这批T恤获得的利润最大？

例2．某照明有限公司研制出一种新型节能灯，每件的生产成本为18元，销售过程中发现，

每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看做一次函数式：

y??2x?100.假定该公司每月生产的新型节能灯能够全部销售完.

（1）设公司每月的销售总利润W（万元），当销售单价定为多少元时，每月可获得的

总利润最大？并求这个最大总利润；【销售总利润=（销售单价-每件的生产成本）3销售量】

（2）若四月份公司获得的销售总利润恰好为480万元，那么四月份该新型节能灯的

销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门的规定，这种新型节能灯的销售单价不得高于成本的2倍（即不

得高于36元）. 若公司希望五月的销售总利润不低于四月份公司获得的销售总利润480万元，那么公司五月份的生产成本最少需要多少元？【生产总成本=每件的生产成本3销售量】

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☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例3．某企业共投资10万元生产A，B两种产品，该企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之

间存在正比例函数关系：yA?kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之

间存在二次函数关系：yB?ax2?bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4

万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润； （3）请你设计投资方案使该企业想要获得的利润不低于5万元？

例4．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生

产进行了调研，结果如下：一件商品的售价．．M（元）与时间t（月）的关系可用一条

线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本．．Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）.

（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价－成本）

（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式； （3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关

系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

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