高中数学知识点总结（文科）(2)

由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练 1求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等

2求函数定义域一般有三类问题：

（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知f(x)的定义域?a,b?，其复合函数f?g(x)?的定义域应由a?g(x)?b解出

3求函数值域的各种方法

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 ①直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数y?k(k?0)的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}； x二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为R，

2(4ac?b)}； 当a>0时，值域为{y|y?4a2(4ac?b)} 当a<0时，值域为{y|y?4a6

②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：

f(x)?ax2?bx?c,x?(m,n)的形式；

③分式转化法（或改为“分离常数法”）

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：y?x?k利用平均值不等式公式来求值域； (k?0)，

x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域

⑨逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y?单调性——知识点归纳 ax?b,x?(m,n)

cx?d1函数单调性的定义：

2 证明函数单调性的一般方法:

①定义法：设x1,x2?A且x1?x2；作差f(x1)?f(x2)（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号 ②用导数证明： 若f(x)在某个区间A内有导数，则f(x)?0，（x?A)

’(x)?0，（x?A)?f(x)在A内为减函数 ?f(x)在A内为增函数；f’3 求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法

4复合函数y?f?g(x)?在公共定义域上的单调性：

①若f与g的单调性相同，则f?g(x)?为增函数； ②若f与g的单调性相反，则f?g(x)?为减函数 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集

5一些有用的结论：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

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增函数f(x)?增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?增函数g(x)是减函数 ④函数y?ax???b??bb??,?或,??上单调递增；在(a?0,b?0)在??????a??ax???b??b???,0??或??0，a?上是单调递减 a????奇偶性——知识点归纳 1函数的奇偶性的定义；

2奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3f(x)为偶函数?f(x)?f(|x|)

4若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0 5判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；

6牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：

f(x)?f(?x)?0，

f(x)??1 f(?x)8设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇

1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(?x)= ?f(x)?f(?x) ?f(x)=0；

2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；

3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是\的非充分非必要条件；

4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判

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断函数的奇偶性 5若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，

（5）函数的周期性

定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x?T)?f(x)恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期 反函数——知识点归纳 1反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若y?f(x)与y?f?1(x)互为反函数，函数y?f(x)的定义域为A、值域为B，则

x?(xB)f[f(x)]?x(x?A)； ，

?1f[f?1(x)?]3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y?x对

称 4求反函数的一般方法：

（1）由y?f(x)解出x?f?1?1(y)，（2）将x?f(y)中的x,y互换位置，得

?1y?f?1(x)，（3）求y?f(x)的值域得y?f(x)的定义域 二次函数——知识点归纳 二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系

1二次函数的图象及性质:二次函数y?ax?bx?c的图象的对称轴方程是x??2b，2a?b4ac?b2顶点坐标是???2a，4a???? ?2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法

)有三种形式，即f(x)?ax?bx?c（一般式），f(x)?a(x?x1)?(x?x2（零点式）和

f(x)?a(x?m)2?n（顶点式） 23 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用

图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c (a>0)

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???0???0??(1)x1<α,x2<α ,则??b/(2a)??; (2)x1>α,x2>α,则??b/(2a)??

?af(?)?0?af(?)?0?????0???0?f(?)?0??(3)α? (α

?f(?)?0?f(?)?0?????b/(2a)???(5）若f(x)=0在区间(α,?)内只有一个实根，则有f(?)f??)?0

4 最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,?]上的最值一般分为三种情况讨论，即：

(1)对称轴?b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响

1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②

2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置 5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：

①??0?f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点?ax2+bx+c=0无实根?ax2+bx+c>0(<0)的解集为?或者是R;

②??0?f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切?ax2+bx+c=0有两个相等的实根

?ax2+bx+c>0(<0)的解集为?或者是R;

③??0?f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点?ax2+bx+c=0有两个不等的实根?ax2+bx+c>0(<0)的解集为(?,?)(???)或者是(??,?)?(?,??)

指数对数函数——知识点归纳 1根式的运算性质：

①当n为任意正整数时，(na)n=a ②当n为奇数时，a=a；当n为偶数时，a=|a|=?npnnnn?a(a?0) ?a(a?0)??根式的基本性质：

amp?nam，（a?0） 2分数指数幂的运算性质：

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