高中数学知识点总结（文科）

高中数学知识点总结

第一章——集合与简易逻辑

集合——知识点归纳

定义：一组对象的全体形成一个集合 特征：确定性、互异性、无序性 表示法：列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P}韦恩图

分类：有限集、无限集 数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ 关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝ 运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B};

补运算CUA＝{x|x?A且x∈U}，U为全集 性质：A?A； φ?A； 若A?B，B?C，则A?C；

A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A； A∩B＝A?A∪B＝B?A?B；

A∩CUA＝φ； A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A； CU(A?B)＝(CUA)∩(CUB) 方法：韦恩示意图, 数轴分析 注意：① 区别∈与、与?、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A?B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ ③若集合A中有n(n?N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是2?2

nn④区分集合中元素的形式：如A?{x|y?x2?2x?1}；B?{y|y?x2?2x?1}；

C?{(x,y)|y?x2?2x?1}；D?{x|x?x2?2x?1}；E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；

yF?{(x,y')|y?x2?2x?1}；G?{z|y?x2?2x?1,z?}

x⑤空集是指不含任何元素的集合{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系空集是任何集

合的子集，是任何非空集合的真子集条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况 1

⑥符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“?,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系

绝对值不等式——知识点归纳

1绝对值不等式

x?a与x?a(a?0)型不等式ax?b?c与ax?b?c(c?0)型不等式的解法与

解集：

不等式x?a(a?0)的解集是x?a?x?a; 不等式x?a(a?0)的解集是xx?a,或x??a

不等式ax?b?c(c?0)的解集为 ?x|?c?ax?b?c?(c?0); 不等式ax?b?c(c?0)的解集为 ?x|ax?b??c,或ax?b?c?(c?0) 2解一元一次不等式ax?b(a?0)

????①a?0,?xx????b?a?0, ②??xx?a??b?? a?3韦达定理：

方程ax?bx?c?0（a?0）的二实根为x1、x2，

2b?x?x??2?12a 则??b?4ac?0且?c?x1x2?a????0?①两个正根，则需满足?x1?x2?0，

?xx?0?12???0?②两个负根，则需满足?x1?x2?0，

?xx?0?12???0③一正根和一负根，则需满足?

xx?0?124．一元二次不等式的解法步骤 2

对于一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?，设相应的一元二次方程

22ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b2?4ac，则不等式的解的各种

情况如下表： ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c 二次函数 y?ax2?bx?cyy?ax2?bx?cyyy?ax2?bx?c （a?0）的图象 x1ox2x ox1=x2x ox 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) bx1?x2?? 2a?b?xx???? 2a?? ? 无实根 ?xx?x或x?x? 12 R ?xx1?x?x2? ? 方程的根→函数草图→观察得解，对于a?0的情况可以化为a?0的情况解决 注意：含参数的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立问题?含参不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R；其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况 简易逻辑——知识点归纳 命题 可以判断真假的语句；

逻辑联结词 或、且、非；

简单命题 不含逻辑联结词的命题；

复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题

三种形式 p或q、p且q、非p

真假判断 p或q，同假为假，否则为真；

p且q，同真为真, 否则为假； 非p，真假相反

原命题 若p则q；逆命题 若q则p；否命题 若?p则?q；逆否命题 若?q则?p；

互为逆否的两个命题是等价的

3

反证法步骤 假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立 充要条件 条件p成立?结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，

结论q成立?条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，

条件p成立?结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件，

第二章——函数

函数定义——知识点归纳 1函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A

中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量x的取值范围A叫

做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域 2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数 3映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A

中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集 4映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都

有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一 函数解析式——知识点归纳 1函数的三种表示法

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式 （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系

（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系

2求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

4

（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 题型讲解 例1（1）已知f(x?)?x3?1x1，求f(x)； 3x（2）已知f(?1)?lgx，求f(x)；

（3）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x?1)?2f(x?1)?2x?17，求f(x)；

2x1x111313解：（1）∵f(x?)?x?3?(x?)?3(x?)，

xxxx（4）已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x) ∴f(x)?x?3x（x?2或x??2） 32， ?1?t（t?1）

x222则x?，∴f(t)?lg，∴f(x)?lg (x?1) t?1t?1x?1（2）令

（3）设f(x)?ax?b(a?0)，

则3f(x?1)?2f(x?1)?3ax?3a?3b?2ax?2a?2b

?ax?b?5a?2x?17，

∴a?2，b?7，∴f(x)?2x?7 （4）2f(x)?f()?3x ①，

1x113，得2f()?f(x)? ②， xxx31①?2?②得3f(x)?6x?，∴f(x)?2x? xx把①中的x换成

注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法 定义域和值域——知识点归纳 5

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