小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(8)

我们知道，L2?R?中许多信号其傅里叶变换在 ? ?π时并不为零，甚至于对任何的B?0，当??B时它都不为零，所以，前述的V0只是L2?R?中的极其有限的一部分。虽然这样，利用Shannon采样定理可逐步“逼近”全空间L2?R?。在这里详细说明一种具体的逼近过程。

根据Shannon采样定理，对于任何整数j，当信号f?x?是2jπ频率截断时，即

F????0 ? ?2jπ 那么

f?x??n?Z??sin(2jx?n) πf2n

(2jx?n) π?j?利用傅里叶变换的Parseval恒等式可得

sin(2jx?n) πsin(2jx?l) π?j?j?(2jx?n) π(2jx?l) πdx?2???x?n? ??x?l? dx?2??n?l? RR因此，函数族

j??j2sin(??22x?n) πjj ; n?Z??j,n?x??2?2x?n?? j(2x?n) π??????构成空间 的标准正交基。

Vj? f?x? ; F????0 , ? ?2jπ

??这样，随着j取遍所有的整数，就可以得到L2?R?的一系列

子空间? Vj ; j?Z?，它们之间有如下关系：

① 嵌套关系：对任何整数j

Vj?Vj?1

因为，对任何信号来说，如果它是2j?频率截断时，那必定是

2j?1?频率截断的；

② 唯一关系：这些子空间中“最小的”是零空间，即

32

j?Z?Vj??0?

这说明具有任意频率截断的信号只能是零信号；

③ 稠密关系：这些子空间能很好地“逼近”空间L2?R?

????V??L2?R? ?j?Zj???利用时域和频域的等价性以及L2?R?中的任何信号的谱都可以用

它的有限截断进行有效逼近的事实可以说明这个等式；

④ 伸缩关系：相邻子空间按时间伸缩重合

f?x??Vj?f?2x??Vj?1 利用信号的时间伸缩在傅里叶变换下的特点容易验证这个关系。这说明，虽然相邻的两个子空间之间有①的包含关系，但它们的信号的自变量即时间之间却具有二倍的伸缩关系。

显然，随着j的不断增大，子空间Vj对空间L2?R?的逼近越来越“好”，而Vj空间具有前面给出的标准正交基，因此，容易想到的是，让j???构造空间L2?R?的标准正交基，从而得到正交小波。遗憾的是，这样得不到L2?R?的像正交小波所给出的那种标准正交基。

回顾正交小波定义可知，如果正交小波??x?已经得到，即

???x??2j?2jx?k ; ?j,k??Z?Z? ?j,k?????构成L2?R?的标准正交基，这时如下的子空间列

? ?j,k?x? ; k?Z? Wj?Closespanj取全部整数，将构成L2?R?的完全的正交直和分解

L2?R???Wj

j?????不仅如此，而且相邻的两个分解子空间之间除了正交之外，它们

的信号的时间变量之间还具有二倍的伸缩关系，即

g?x??Wj?g?2x??Wj?1

33

? ?j,k?x? ; k?Z?可以直接得到。 这由构造Wj?Closespan但是，在使用Vj空间对L2?R?进行逼近时，Vj空间之间显然没有正交关系。而恰恰是这个正交关系保证了将每个Wj的标准正交基放在一起就可以构成全空间L2?R?的标准正交基。因此，必须由L2?R?的逼近? Vj ; j?Z?构造满足前述正交直和分解的分割? Wj ; j?Z?。

具体的构造方法是，对于任何整数j，选取Wj是空间Vj在Vj?1中的如下的正交补空间

Wj?Vj?? g?x? ; SuppG?[2jπ , 2j?1π]

??其中记号SuppG的含义是

称为函数G???的支集。这样得到的子空间序列? Wj ; j?Z?就满足前述各项要求。因此，为了构造小波函数??x?，只需对一个空间

比如W0进行构造就可以了。这样，问题具体变成：

选取函数??x?，使函数族? ??x?k? ; k?Z?构成W0的标准正交基

由函数??x?生成V0的标准正交基和?1,k?x?生成V1的标准正交基的特点以及空间关系

可以直接构造函数??x?。对V1的任何信号f1?x?，可得如下分解

f1?x??f0?x??g0?x?

其中f0?x??V0而且g0?x??W0，这些信号及其傅里叶变换有各自的级数表达式

??1???i?k???f1?x??2?ck??2x?k??F????ce?k2? ??

k???? ??R ; G????0? SuppG=CloseV1?V0?W0

2k????2?f0?x????i?k??? ???? ????c?x?k?F??ce0?k??k?k?Z?k?Z?34

g0?x????i? k??? ????d?x?k?G??de???? 0?k??k?k?Z?k?Z?利用函数????和?里叶变换????的解析公式和小波函数??x?图形。在图2-1中给出

了函数??x?和小波函数??x?的图形。小波函数的时域和频域表达式在下面给出。

???的图形性质，可以直接得到小波函数之傅2

图2-1 函数??x?和小波函数??x?的图形

小波函数的频域表达式是

35

?0 ??π ???????????????????1 π???2π

?2??0 2π?? ?在时间域可表示为

??x??2??2x????x??sin?2x π??sin?x π?

x π这就是一个Shannon小波。

回顾一下Shannon小波的构造过程可知，满足前述各项条件的单调上升的逼近函数空间L2?R?的子空间序列? Vj ; j?Z?在构造中起了关键作用，它把整个问题归结为两个子空间V1和V0之间的关系问题；另外值得注意的是，傅里叶分析起了重要作用。事实上，在小波分析中，无论是理论分析还是数值计算，都要经常用到傅里叶分析，它是一种非常有效的理论分析和数学及数值计算工具。

2.2 正交多分辨分析和正交小波

仿照构造Shannon小波的方法，可以得到构造正交小波的一般方法，即正交多分辨分析。

2.2.1 正交多分辨分析(Multiresolution Analysis)

定义 设? Vj ; j?Z?是上的一列闭子空间，??x?是L2?R?中的一个函数，如果它们满足如下的五个条件，即

① 单调性：

Vj?Vj?1, ?j?Z

② 唯一性：

j?Z?Vj??0?

③ 稠密性：

???V??L2?R?

j???j?Z??④ 伸缩性：

36

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(8)在线全文阅读。