究了量子光学相空间非正交区域变换和分数傅里叶变换的关系，并且给出了相空间各种变换的具体形式[67]。A.Sahin则提出在两个正交轴上分别实现不同级次的分数傅里叶变换以增加信息通道的构想[68]。11月，D.Mendlovic等人给出了基于分数傅里叶变换的新表象——线性空间表象，在另一篇文章中，他们报道了两正交轴实现不同级次分数傅里叶变换的实验结果[69~70]。基于分数傅里叶变换的思想，J.Shamir和N.Cohon提出在光学中实现开方和乘幂运算的设想，并指出这些操作可用于光学设计、光学信息处理和光计算机的研究等领域[71]。12月，蒋志平利用分数傅里叶变换的尺度性质提出单一结构实现不同级次分数傅里叶变换的构想，并给出了结构参数[72]。
1996年2月，A.W.Lohmann利用分数傅里叶变换的思想，将光学希尔伯特变换分数化，并给出了相应的模拟结果和基于分数傅里叶变换结构的实现结构[73]。
1995年8月，C. C. Shih提出了一种新的分数傅里叶变换的定义形式——态函数叠加的方法[64]，利用经典傅里叶变换整数幂运算的四周期性质将新的分数傅里叶变换定义成四个态函数的线性组合，其组合系数是分数傅里叶变换幂次的函数。从此，一些新的问题产生了，比如各种分数傅里叶变换定义之间的关系是什么；分数傅里叶变换的多样性；分数傅里叶变换的数学描述；分数傅里叶变换与傅里叶变换的关系；考虑到实际应用和数值计算的需要，还有一些问题比如分数傅里叶变换的离散采样算法；离散分数傅里叶变换如何定义；离散分数傅里叶变换能否利用离散傅里叶变换的快速算法比如FFT实现快速数值计算等。
0.3 小波变换与分数傅里叶变换的相似性
小波变换和分数傅里叶变换都是从经典傅里叶变换发展起来的，它们是从不同的角度改进了傅里叶变换。另外，从数字信号处理、数字图像处理的时-频分析和空-频分析的角度来看，小波变换和分数傅里叶变换都是一种特定的时-频分析或空-频分析方法。
7
0.3.1 小波变换与傅里叶变换
实际上，经典傅里叶变换是定义在函数空间或信号空间L2?R?上的连续线性算子。具体地说，对于空间L2?R?中的任何信号或函数f(t)，它的傅里叶变换定义为
F?v???????f?t?exp??ivt? dt （0.3.1）
有时也称傅里叶变换F(v)为f(t)的谱。从傅里叶变换发展到小波变换的中间阶段是D.Gabor变换或称为窗口傅里叶变换，其Gabor变换定义的基本形式是
Gf?b,v?????其中ga?t??exp?t24a 2aπ是Gaussian（高斯）函数（a?0是常数），称为“窗口函数”。对任何a?0，Gabor变换可以理解为f?t?“在时间点t?b处，频率为v的频率成分”，就是说，在时间点t?b处附近一定窗口范围内用傅里叶变换（谱）进行分析处理。体现了窗口傅里叶变换的时-频分析特点。小波变换也是定义在函数空间或信号空间L2?R?上，但小波变换的变换因子不再是窗口傅里叶变换的积分因子ga?t?b?exp??ivt?，而是如下的连续小波函数
1?t?b???a,b??t??? ??
a??a如果
C???????????f?t? ga?t?b?exp??ivt? dt
??v? v2R*dv??? （0.3.2）
其中??v?????t?exp(?ivt)dt是??t?的傅里叶变换，则称??t?为允许小波或小波母函数。小波变换的定义是
1?t?b? （0.3.3）
??Wf?a,b??ft ? ?? dt?aR?a?由此看出，任意信号或函数f(t)的小波变换Wf（a，b）是一个二
元形式的信号，这是和傅里叶变换很不相同的地方。如果小波函
8
数??t?的傅里叶变换??v?在原点v=0是连续的，那么??0??0，即??t?的积分等于0。这说明函数有“波动”的特点。因为??t?是L2（R）的，它只在原点附近才会存在明显的起伏，在远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，这是称它为“小波”的基本原因。同样，??a,b??t?将在x=b的附近才存在明显不为0的数值，而这个“附近”范围的大小正比于参数a。因此，虽然形式上小波变换和窗口傅里叶变换完全不同，但从“在指定时间（空间）点附近，研究信号的波动变化情况”这个意义来看，它们实际上是极其相似的，体现的都是同时考虑时间（空间）和频率的研究思想。一般称之为时（空）-频分析方法。
0.3.2 分数傅里叶变换（A）
现在回顾一下分数傅里叶变换的定义。为了本书后续部分使用的方便，此处将V.Namias在1980年所给的定义重新整理并按严格的形式复述。
相应于非负整数m=0,1,2,…，将傅里叶变换对应的特征值写成
?imπ??m?exp ??? （0.3.4）
2??同时，相应的标准化特征函数可以写成
?t2?1??m?t??Hm?t? exp ???2? （0.3.5） m??2m!π?m?t?的傅里叶变换恰好等于它自己与复数?m的乘积，也就是说，
标准化的含义是?m?t?的L2-范数等于1。在上述公式中出现的记号Hm?t?表示第m个Hermite（埃尔米特）多项式，它随着m的递推关系是
?H0?t??1, H1?t??2t， m=1,2,3,... （0.3.6） ??Hm?1?t??2tHm?t??2mHm?1?t?利用这些记号，V. Namias的分数傅里叶变换F?f ?t?可以表示成傅里叶变换标准化特征函数?m?t?的无穷级数和的形式
?? 9
?F?f? ?t???h ?mmRm?a? ?m?t? （0.3.7）
其中，?m?a??exp??mia π2?，m=0,1,2,…，是傅里叶变换的特征值，组合系数hm??f?t? ?m?t? dt是原始信号在傅里叶变换的各个规范化特征函数上的正交投影。因此，分数傅里叶变换和傅里叶变换具有完全相同的特征函数，而它们的特征值之间是幂次关系，所以，分数傅里叶变换是完全不同于傅里叶变换的一种新的变换类，只有幂次取一些特殊数值比如5、9时，分数傅里叶变换才返回到经典的傅里叶变换。这就是V. Namias的分数傅里叶变换的定义[28]。
A. C. Mcbride和F. H. Kerr在1987年给出了V. Namias的分数傅里叶变换的积分形式。具体地说，对信号空间L2?R?中的任何信号f?t?，它的分数傅里叶变换?Faf? ?t?可以写成积分形式
?Ff? ?v???aRf?t? k?a ;v,t? dt （0.3.8）
其积分核是
??c?a?exp iv2cot?a?2vtcsc??a??t2cot ??a? a?2n k?a ;v,t???n?? ?v???1?t a=2n??????公式中各记号的含义是
c?a??1?icot??a?，?a?aπ
2π2其中，n是整数，a是分数傅里叶变换的幂次，可取任何实数[29]。
A.W.Lohmann在1993年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数之相空间中相当于角度是?π2的旋转，这里，?是分数傅里叶变换的幂次。具体地说，根据Wigner分布函数的定义
?x?t ??t ???Wf??fx?fx?????exp??2 π tvi? dt ?v??R22??????可以直接验证
??0?1??x???x???v??????Wf???W?Wf?f???v???10?? ??v??? x??????????10
这里f?表示函数f?x?的傅里叶变换，即
??v???Ff??f v???f?x?exp??ivx? dx
R因此，A.W.Lohmann定义幂次是?的分数傅里叶变换F?f ?x?为
??x??x????????W?F?f? ??WR? f??v??v???
??????其中，矩阵R???是时-频相平面x-v上角度为??π2?的旋转矩阵
???π???π???cos???sin???2?2?? ???R ???????π???π???cos????sin??2????2???实际上，分数傅里叶变换的这三种定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次a从0连续增长到达1时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次a在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具。
0.3.3 分数傅里叶变换（B）
1995年8月，C. C. Shih提出了一种新的分数傅里叶变换的定义形式，即态函数叠加的方法[64]，利用经典傅里叶变换整数幂运算的四周期性质，将新的分数傅里叶变换定义成四个态函数的线性组合，其组合系数是分数傅里叶变换幂次的函数。具体地说，对L2?R?中的任意信号f?t?，由傅里叶变换的运算性质可得
?F4m?lf ?t??Flf ?t?
???对于任意的整数m和l?0,1,2,3都是成立的，其中F表示傅里叶变
???Ff? ?t?表示对信号f?t?连续进行n里叶变换；当n是负整数时，
次傅里叶逆变换；当n?0时，?Ff? ?t??f?t?就是不对信号进行
n换，当n是自然数时，Fnf ?t?表示对信号f?t?连续进行n次傅
0变换。因此，引入记号
11
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(3)在线全文阅读。
相关推荐：