小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(5)

0.4.2 全书结构

本书第0章是全书的绪论，介绍小波变换和分数傅里叶变换的发展过程，同时说明本书的基本内容和全书安排。从第1章开始至第8章深入研究小波变换的各种问题，最后3章讨论分数傅里叶变换的相关理论、方法以及与小波变换的比较。

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第1章 小波变换与傅里叶变换

小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。为了便于理解和使用，本章从小波变换与傅里叶变换的定义形式的角度大致说明积分连续小波变换、二进小波变换、正交小波变换的基本概念以及与傅里叶变换的简单比较。

1.1 小波和小波变换

为了行文方便，我们约定，一般用小写字母，比如f?x?表示时间信号或函数，其中括号里的小写英文字母x表示时间域自变量，对应的大写字母，这里的就是F???表示相应函数或信号的傅里叶变换，其中的小写希腊字母?表示频域自变量；尺度函数总是写成??x?（时间域）和????（频率域）；小波函数总是写成??x?（时间域）和????（频率域）。

下面考虑函数空间L2?R?，它是定义在整个实数轴R上的满足要求

???f?x? ??2dx???

的可测函数f?x?的全体组成的集合，并带有相应的函数运算和内积。工程上常常说成是能量有限的全体信号的空间。直观地说，就是在远离原点的地方衰减得比较快的那些函数或者信号构成的空间。

1.1.1 小波(Wavelet)

小波是函数空间L2?R?中满足下述条件的一个函数或者信号??x?

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C??? ???? 2R*?d???

这里，R*?R??0?表示非零实数全体。有时，??x?也称为小波母

函数，前述条件称为“容许性条件”。对于任意的实数对(a,b)，其中参数a必须为非零实数，称如下形式的函数

1?x?b???a,b??x?????

a?a?为由小波母函数??x?生成的依赖于参数（a,b）的连续小波函数，简称为小波。

注释：(一)如果小波母函数??x?的傅里叶变换????在原点那么，容许性条件保证??0??0，即???x? dx?0。??0是连续的，

R这说明函数??x?有“波动”的特点，另外，函数空间本身的要求又说明小波函数??x?只有在原点的附近它的波动才会明显偏离水平轴，在远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，整个波动趋于平静。这是称函数??x?为“小波”函数的基本原因；(二)对于任意的参数对(a，b)，显然，??(a,b)?x? dx?0，但是，这时

R??a,b??x?却是在x=b的附近存在明显的波动，而且，明显波动的范围的大小完全依赖于参数a的变化。当a=1时，这个范围和原来的小波函数??x?的范围是一致的；当a>1时，这个范围比原来的小波函数??x?的范围要大一些，小波的波形变矮变胖，而且，当a变得越来越大时，小波的波形变得越来越胖、越来越矮，整

??a,b??x?个函数的形状表现出来的变化越来越缓慢；当0

要小，小波的波形变得尖锐而消瘦，当a>0且越来越小时，小波的波形渐渐地接近于脉冲函数，整个函数的形状表现出来的变化越来越快，颇有瞬息万变之态。小波函数??a,b??x?随参数对(a,b)中的参数a的这种变化规律，决定了小波变换能够对函数和信号进行任意指定点处的任意精细结构的分析，同时，这也决定了小波变换在对非平稳信号进行时-频分析时具有的时-频同时局部化

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的能力以及二进小波变换和正交小波变换对频域的巧妙的二进频带分割能力。在后面的相应部分，我们将详细介绍这些内容。

1.1.2 小波变换

对于任意的函数或者信号f?x?，其小波变换定义为

Wf?a,b???f?x? ??a,b??x? dx?R1a?R?x?b?f?x? ??? dx

?a?因此，对任意的函数f?x?，它的小波变换是一个二元函数。这是小波变换和傅里叶变换很不相同的地方。另外，因为小波母函数??x?只有在原点的附近才会有明显偏离水平轴的波动，在远离原点的地方函数值将迅速衰减为零，所以，对于任意的参数对(a，b)，小波函数??a,b??x?在x=b的附近存在明显的波动，远离x=b的地方将迅速地衰减到0，因而，从形式上可以看出，函数的小波变换Wf?a,b?数值表明的本质上是原来的函数或者信号f?x?在x=b点附近按??a,b??x?进行加权的平均，体现的是以??a,b??x?为标准快慢的f?x?的变化情况，这样，参数b表示分析的时间中心或时间点，而参数a体现的是以x=b为中心的附近范围的大小，所以，一般称参数a为尺度参数，而参数b为时间中心参数。因此，当时间中心参数b固定不变时，小波变换Wf?a,b?体现的是原来的函数或信号f?x?在x=b点附近随着分析和观察的范围逐渐变化时表现出来的变化情况。

1.2 小波变换的性质

按照上述方式定义小波变换之后，很自然就会关心这样的问题，即它具有什么性质，同时，作为一种变换工具，小波变换能否像傅里叶变换那样可以在变换域对信号进行有效的分析，说得具体一些，利用函数或信号的小波变换Wf?a,b?进行分析所得到的结果，对于原来的信号f?x?来说是否是有效的？这一节将说明这些问题。

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1.2.1 小波变换的Parseval恒等式

dadb 2RRa2对空间L?R?中的任意的函数f?x?和g?x?都成立。这说明，小波

C??f?x? g?x? dx???2Wf?a,b? Wg?a,b? 变换和傅里叶变换一样，在变换域保持信号的内积不变，或者说，保持相关特性不变（至多相差一个常数倍），只不过，小波变换在变换域的测度应该取为dadba2，而不像傅里叶变换那样取的是众所周知的Lebesgue测度，小波变换的这个特点将要影响它的离散化方式，同时，决定离散小波变换的特殊形式。

1.2.2 小波变换的反演公式

利用小波变换的Parseval恒等式，容易证明，在空间L2?R?中小波变换有反演公式

f?x??1C???R?RWf?a,b? ??a,b??x??dadb 2a特别是，如果函数f?x?在点x?x0处连续，那么，小波变换有如下的定点反演公式

f?x0??1C???R?RWf?a,b? ??a,b??x0??dadb a2这些说明，小波变换作为信号变换和信号分析的工具在变换过程中是没有信息损失的。这一点保证了小波变换在变换域对信号进行分析的有效性。特别注意反演公式的测度不是Lebesgue测度，对于尺度参数a，它是带有平方伸缩的Lebesgue测度daa2。

1.2.3 吸收公式

当吸收条件

d???d?

0??成立时，可得到如下的吸收Parseval恒等式

??????1? da ????C??f?x? g?x? dx???Wa,b Wa,b dbfg???0?2?????a2

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?0?? ???? 2?? ????? 2

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