小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(4)

f0?t??f?t?,f1?t???Ff0?? t?,f2?t???Ff1?? t?,f3?t???Ff2?? t?

这样，C. C. Shih的分数傅里叶变换Fsaf ?t?定义为如下的线性组合

Fsaf ?t??A0?a?f0?t??A1?a?f1?t??A2?a?f2?t??A3?a?f3?t?

其中系数Aj?a?,j?0,1,2,3是幂次a的连续函数，使分数傅里叶变

????换Fsaf ?t?满足下面的运算公理。

①连续性公理：Fsa:L2?R????L2?R?是连续的； ②边界性公理：当a是整数时，Fsa退化为Fa；

③可加性公理：对任意的a和b，分数傅里叶变换Fsa具有可加性

FsaFsb?FsbFsa?Fsa?b （0.3.9）

??利用前述组合形式和组合系数满足的三个公理，可以唯一确定出组合系数的解析表达式[64]。实际上，分数傅里叶变换应满足的可加性公理③完全相当于要求组合系数满足函数方程组

?A0?a?b??A0?a?A0?b??A1?a?A3?b??A2?a?A2?b??A3?a?A1?b??A?a?b??A?a?A?b??A?a?A?b??A?a?A?b??A?a?A?b??101102332??A2?a?b??A0?a?A2?b??A1?a?A1?b??A2?a?A0?b??A3?a?A3?b? ??A3?a?b??A0?a?A3?b??A1?a?A2?b??A2?a?A1?b??A3?a?A0?b?（0.3.10）

边界性公理②相当于要求组合系数满足边界条件

?1 j=l （0.3.11）

Aj?4m?l????j?l????0 j?l其中，m是任意整数，l?0,1,2,3，j?0,1,2,3。再结合连续性公理

就可以求得组合系数的解析表达式

??a?j? π??2?a?j? π??3?a?j? iπ? （0.3.12） Aj?a??cos??cos??exp???444??????其中j=0,1,2,3。因此，对于任何实数a，幂次是a的分数傅里叶变换可具体写成如下的线性组合

?Fsa??a?j? π??2?a?j? π??3?a?j? iπ?f ?t???cos??cos??exp??? fj?t?

444??????j?0?3（0.3.13）

12

从而容易看出，C.C.Shih所定义的分数傅里叶变换与前述V. Namias和A. C. Mcbride、F. H. Kerr所描述的分数傅里叶变换是完全不同的，只有当幂次是整数时它们才是相同的。

再回过来看C.C.Shih的分数傅里叶变换的时-频性质。利用组合系数的解析表达式（0.3.12）易知，当分数傅里叶变换的幂次a=0时，分数傅里叶变换的结果就是原始信号的纯时间（空间）形式；a=1时，变换的结果达到它的纯频域（谱）形式；幂次a在0到1之间的任何时刻，因为

f2?t???Ff1?? t??F2f ?t??f??t?（时域反射）

??f?t???Ff?? t???Ff? ?t??f??t?（频域反射）

3231所以分数傅里叶变换直接表现为时（空）域信息和频域信息的线

性加权，从整体上体现了时（空）-频综合的特征。因此，这样定义的分数傅里叶变换确实也是一种时（空）-频描述和分析的工具。

C.C.Shih的分数傅里叶变换概念和自傅里叶变换函数及自分数傅里叶变换函数有一定的联系。实际上，自傅里叶变换函数定义为在傅里叶变换下不变的函数，某幂次下的自分数傅里叶变换函数定义为在该幂次下的分数傅里叶变换下不变的函数。所以，容易得到自傅里叶变换函数的构造形式，即任何自傅里叶变换函数的充分必要条件是它可以写成4部分的叠加，而这4部分分别是同一函数及其一次、二次和三次傅里叶变换结果。显然，对于任何函数或信号f?t?及其一次、二次和三次傅里叶变换之和

m?t??f0?t??f1?t??f2?t??f3?t?

其傅里叶变换必然是它自己，即自傅里叶变换函数；反过来，如果函数或信号m?t?是自傅里叶变换函数，那么，只要取f?t??m?t?4，则f?t?及其一次、二次和三次傅里叶变换之和正好是m?t?，因为，这时f?t?及其一次、二次和三次傅里叶变换相同，都是f?t?自己。令人惊奇的是，每一个自傅里叶变换函数的任何幂次的分数傅里叶变换仍然是自傅里叶变换函数，同时，某一幂次下的自分数傅里叶变换函数的傅里叶变换仍然是这一幂次下的自分数傅里叶变换函数。相仿地，对于周期为自然数M的周期分数傅里叶变换，它对应的自分数傅里叶变换函数的充分必要条件是它可以写成某一函数及其一次，二次，…，（M?1）

13

次分数傅里叶变换的叠加。显然，这种叠加具有一些特别的性质。当带有不同的系数时，这种叠加将具有另一些特殊的性质，特别是不同的变换性质。这就导致了C.C.Shih的分数傅里叶变换概念，同时在这种分数傅里叶变换下的自傅里叶变换函数和自分数傅里叶变换函数的前述结论仍然成立。

0.3.4 小波变换与分数傅里叶变换

前述分析清楚表明，改进傅里叶变换产生了小波变换和分数傅里叶变换这两种变换分析方法，因此由于共同的出发点都是经典的傅里叶变换，所以虽然它们是两种不同的时（空）-频描述和处理方法，但完全可以相信这两者无论在理论上还是在算法上都应该具有一定的联系和相似性。

那么，这两者到底具有什么样的联系和相似性呢？可以肯定，这些问题的研究将有助于小波变换和分数傅里叶变换的理论研究和促进它们的进一步应用。特别是因为小波变换在理论、方法、算法和应用等多方面都已经取得了很大的成就，所以了解小波变换和分数傅里叶变换之间的相互关系将会极大地促进分数傅里叶变换理论、方法和算法的研究以及应用，同时，利用分数傅里叶变换在物理特别是傅里叶光学领域中的成果和应用，可以推动小波变换的进一步研究和应用，至少可以帮助小波变换在光学研究中的进一步应用。另外，由于小波变换在计算机技术直接应用的许多方面已经得到的研究和实际使用，通过研究小波变换和分数傅里叶变换之间的联系以及相似之处，将会缩短分数傅里叶变换在这些领域之间的距离并尽快获得相应的实际应用。

考虑到基于分数傅里叶变换的思想，J.Shamir和N.Cohon已经提出在光学中实现开方和乘幂运算的设想并同时指出了这些操作可用于光学设计、光学信息处理、光计算和光计算机的研究等领域[71]，再考虑到在计算机技术应用和算法两方面的需要，这两种变换的离散数值算法以及快速数值算法的研究，特别是分数傅里叶变换的快速数字算法的研究，显然具有重要的理论意义和实际应用价值。正交小波变换对应的离散数值算法实质上是有限维实的（或者复的）向量空间上的正交线性变换，变换矩阵是正交矩阵；一般的归一化离散小波变换算法是有限维向量空间上的线性仿射变换，变换矩阵是可逆矩阵，这个可逆矩阵的模是1，

14

那么，对于分数傅里叶变换来说，有限数字算法是向量空间上的线性变换吗？是正交变换吗？变换矩阵具有什么性质？

本书将重点研究小波变换、分数傅里叶变换以及这两种算法的内在联系，分别研究小波变换的基本理论、一些特殊问题的离散数字算法和特殊小波的构造，分数傅里叶变换的一般描述、代数结构、离散算法和多样性，分数傅里叶变换和傅里叶变换的相近程度，全面比较小波变换和分数傅里叶变换在空间分割方式上的差异以及它们的离散算法在结构和性质上的差异。

0.4 本书主要内容和结构

我们将重点着眼于研究小波变换和分数傅里叶变换的理论、算法以及它们之间的内在联系。全书分别研究了小波变换的基本理论、方法和数字算法，并对一些特殊问题、特殊小波构造和离散数字算法进行了详细讨论。对于分数傅里叶变换理论，重点研究了分数傅里叶变换的一般描述、代数结构、离散算法和多样性理论，分数傅里叶变换和傅里叶变换的相近程度，全面比较小波变换和分数傅里叶变换在空间分割方式上的差异以及它们的离散算法在结构和性质上的差异。

0.4.1 主要研究内容

1．小波变换基本理论 系统介绍小波变换的基本概念、基本理论和基本方法。具体而言，这部分内容包含连续积分小波变换，二进小波变换，正交小波变换，多分辨分析和正交小波构造理论，紧支正交小波的一般构造方法及实例计算，时-频分析的基本思想以及小波变换的时-频分析特性，正交小波包的思想、理论和方法，正交小波包的时-频分析特性，正交小波变换和正交小波包变换的递推的分解和合成算法 —— MALLAT算法。

2．小波变换的典型应用 在这部分将讨论小波变换的几个最典型的应用领域，包括小波与采样定理，小波与快速算法，小波与金字塔算法，小波与图像处理特别是小波与图像压缩，Daubechies的小波分析时-频理论，小波变换与滤波器，小波变换与视觉理论等。

3．小波的分频重叠问题 常见的小波特别是正交小波在进行

15

时-频分析或空-频分析时，即使在统计频带分割的意义下也会发生各个不同尺度对应的统计频带严重重叠的问题。我们在这里首次提出并仔细研究这个问题，还利用数值仿真计算的结果定量说明这个问题。

4．解决分频重叠的方法 针对小波变换存在的分频重叠问题，我们将提出两种不同的解决方式。其一，构造特殊严格分频的频域紧支小波，在时-频分析时具有良好的频域分割特性，并将这种构造方法一般化获得构造二进小波的通用方法以尽量缓解这种重叠现象，在比较宽松的条件下探讨构造二进小波的充要条件；其二，在面对特定的时-频分析问题时，通过恰当选择小波变换应用的切入点，尽量利用现有常用小波解决相应问题，这种解决方式回避了小波变换分频重叠问题，当然，这样做是否成功完全取决于当前问题能否进行转换为其他有利于小波变换优势发挥的间接问题。此处用实例进行详细的分析。

5．紧支小波变换的一个矩阵算法 离散数据的紧支小波变换算法是小波应用中必然面临的问题，我们将针对一类特殊计算问题讨论一个矩阵算法。同时，为了与分数傅里叶变换比较的方便，利用有限长度数字信号的周期延拓整理紧支正交小波变换的矩阵算法。

6．分数傅里叶变换的基本理论 本书严格按数学语言重新分析整理分数傅里叶变换的相关文献，讨论分数傅里叶变换的基本思想和基本理论。

7．一种特殊的分数傅里叶变换 详尽严格研究C.C.Shih在1995年定义的一种特殊的分数傅里叶变换的数学描述问题。利用群论的方法研究它的代数结构和数学性质。构造性定义了一类新的分数傅里叶变换，即任意周期分数傅里叶变换，讨论了它的基本性质以及与其他分数傅里叶变换之间的关系。

8．离散分数傅里叶变换的快速算法 利用离散傅里叶变换的重复运算特性，定义了离散分数傅里叶变换，并基于FFT构造了相应的快速数字算法。

9．小波变换与分数傅里叶变换的内在联系 从空间分割和离散数字算法这两个不同的方面比较了小波变换与分数傅里叶变换的异同。

16

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(4)在线全文阅读。