小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(2)

一个有趣的现象是各个领域的专家、学者和工程师在完全不了解别人的研究工作的状态下巧妙地、独立地构造自己需要的“小波”。虽然如此，但通观全局可以发现，这些专家、学者和工程师所从事研究的领域广泛分布于科学和技术研究的许多方面，因此，这个现象从另一个侧面预示小波分析热潮的到来，说明了小波理论产生的必然性。

（2）国际性研究热潮和统一构造时期。真正的小波热潮开始于1986年，当时法国数学家Y.Meyer成功地构造出了具有一定衰减性质的光滑函数ψ，这个函数（算子）的二进尺度伸缩和二进整倍数平移产生的函数系构成著名的函数空间L2(R)的标准正交基[13]。这项成果标志“小波分析”新时期的到来。在此之前，学术界普遍认为不会存在性质如此之好的函数。实际上，不仅数学家这样，其他领域的学者也有此倾向，比如前述提到的那些科学家或者放弃进一步的研究或者放弃对小波性质的特殊要求，比如I.Daubechies、A.Grossmann、Y.Meyer在此之前就是研究函数ψ和常数a与b，使函数系

j????2??j??a?ax?kb ; j,k?Z??

??????构成函数空间L2(R)的框架[14]。进入这个时期之后，P.Lemarie[15]

和G.Battle [16]又分别独立地构造得到了这样“好的”小波。之后Y.Meyer和计算机科学家S.Mallat提出多分辨分析概念[17~18]，成功地统一了此前J.Str?mberg、Y.Meyer、P.Lemarie和G.Battle的各别的小波构造方法。同时，S.Mallat还简洁地得到了离散小波的数值算法即Mallat分解和合成算法，并且将此算法用于数字图像的分解与重构[19~20]。几乎同时，比利时数学家I.Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的正交小波基[21]，C.K.Chui和中国籍学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的尺度函数和小波函数的一般构造方法[22~24] 。这个时期的结束标志之一是国际性综合杂志《IEEE Transaction on Information Theory（信息论）》在1992年3月份的“小波分析及其应用”的专刊上，比较全面地介绍了在此之前小波分析理论和应用在各个学科领域的发展。

（3）全面应用时期。从1992年开始，小波分析方法进入全

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面应用阶段。在前一段研究工作基础上，特别是数字信号和数字图像的Mallat分解和重构算法的确定，使小波分析的应用迅速波及科学研究和工程技术应用研究的许多领域。编辑部设在美国Texas A&M大学的国际杂志《Applied and Computation Harmonic Analysis》从1993年创刊之日起就把小波分析的理论和应用研究作为其主要内容，编辑部的三位主编C.K.Chi、R.Coifman与I.Daubechies都在小波分析的研究和应用中有独到的贡献。时至今日，小波分析的应用范围还在不断扩大，许多科技期刊都刊载与小波分析相关的文章，各个学科领域的地区性和国际性学术会议都有涉及小波分析的各种类型的论文、报告，同时，在国际互联网INTERNET和其他有较大影响的网络上，与小波有关的书籍、论文、报告、软件随时随地都可以找到并可以免费下载，甚至颇有国际影响的软件公司像MathWorks在它的“科学研究和工程应用”软件MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox”的单独一个工具箱。这样的局面使得任何人都不可能完全了解小波分析全面的研究和应用情况，而只能择其中相关的内容进行跟踪、消化和展开深入研究。

随着小波变换理论研究的不断深入和实际应用的日益广泛，小波分析的各种优势也在不断明确，但同时，一些常用的小波包括其相应的算法在某些特殊应用上的局限性也渐渐为人们所认识[25~26]。比如在小波变换用于信号分离时经常出现的频率混叠现象给信号分析带来麻烦，本书后面的分析将说明这种现象产生的根源在于常用小波之离散小波变换特殊的时-频分析性质，即“频域分割不到位”。

关于小波变换本书选择与计算机应用技术密切相关的涉及数字信号处理、数字图像处理及压缩、图像纹理分析、数值计算等多个方面的离散小波数值计算之理论和算法展开论述，包括为了缓解小波变换“频域分割不到位”造成的频率混叠现象和特殊应用需要的小波构造方法，离散正交小波的算法分析以及小波算法与分数傅里叶变换理论及算法的全面比较等基本内容。

0.2 傅里叶变换和分数傅里叶变换

傅里叶变换是一个十分重要的工具，无论是在一般的科学研

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究中，还是在工程技术的应用研究中，它都发挥着基本工具的作用。从历史发展的角度来看，自从法国科学家J.Fourier在1807年为了得到热传导方程简便解法而首次提出著名的傅里叶分析技术以来，傅里叶变换首先在电气工程领域得到了成功应用，之后，傅里叶变换迅速得到了越来越广泛的应用，而且，理论上也得到了深入研究，特别是进入20世纪40年代之后，由于计算机技术的产生和迅速发展，以离散傅里叶变换形式出现的FFT以频域分析、谱分析和频谱分析的形式在极短的时间内迅速渗透到现代科学技术的几乎所有领域，无人不知无人不晓！时至今日，甚至于发展到：在理论研究和应用技术研究中，分别把傅里叶变换和FFT当作最基本的有效的经典工具来使用和看待。正是这些深入的研究和广泛的应用，逐渐暴露了傅里叶变换在研究某些问题时的局限性以及FFT在处理一些特殊数据时的局限性。因为各种科学问题研究的特殊需要，对傅里叶变换的改进也选择了完全不同的方向。

D.Gabor在1946年给出的现在以他的名字命名的Gabor变换代表了改进傅里叶变换的一个方向，即信号加窗或基函数加窗，有时也称为窗口傅里叶变换[27]。这是一种信号局部分析的新思想，这个方向的深入研究最终导致小波分析的出现。

V.Namias在1980年首先进行研究的分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transformation即FRFT）是改进傅里叶变换的另一个方向[28]。当时他的问题是要求出在量子力学研究中出现的一个特殊偏微分方程的解析解。抽象地说，他是把分数傅里叶变换作为傅里叶变换算子的非整数次幂运算结果来引进的。基本的想法是把经典傅里叶变换的特征值作为一般的复数进行幂次运算，将所得结果作为一个新变换的特征值并利用傅里叶变换的特征函数二者合一，从而构造得到与前述幂次相同的分数傅里叶变换。因此，V. Namias研究的分数傅里叶变换是经典傅里叶变换在分数级次上的推广，它同Gabor变换和小波变换一样，都是把研究对象变换成维数更高的新对象来进行处理。所以从一般的科学研究方法来看，小波变换和分数傅里叶变换都是升维方法。

1987年，A. C. Mcbride和F. H. Kerr用积分形式从数学上严格定义了分数傅里叶变换[29]。1993年，光学专家A.W.Lohmann利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为?24

的旋转这一性质，阐释了分数傅里叶变换的物理意义，即幂次?的分数傅里叶变换相当于Wigner分布函数相空间中角度是?π2的旋转，这里?是分数傅里叶变换的幂次[30]。从此，因为A.W.Lohmann的杰出工作使分数傅里叶变换的研究首先在光学领域得到了应用，特别是在傅里叶光学及相关领域的研究中吸引了各国学者的注意。在1993年底，D.Mendlovic和H.M.Ozaktas首次利用负二次型渐折射率介质（GRIN）来实现光学分数傅里叶变换[31~33]，他们的工作还包括利用分数傅里叶变换进行分数傅里叶变换域滤波以及分数傅里叶变换的计算机仿真方法和计算结果。到1994年初，D.Mendlovic、H.M.Ozaktas和A.W.Lohmann三人联合研究了分数傅里叶变换和自傅里叶变换函数的关系，明确了自傅里叶变换函数的分数傅里叶变换仍是自傅里叶变换函数的事实，并给出了自分数傅里叶变换函数的定义[34]。在随后的文章中他们又给出了自分数傅里叶变换的几种可能应用[35]。3月，T.A.lieva等人将光线传播和分数傅里叶变换联系起来，指出可利

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用分数傅里叶变换来研究光线传播问题。1994年6月，A.W.Lohmann研究了分数傅里叶变换和Radon-Wigner函数的关系，并证明了用GRIN介质实现的光学分数傅里叶变换和Wigner分布函数相空间旋转定义的光学分数傅里叶变换是完全等价的，同时提出可利用透镜和自由空间组合来实现光学分数傅里叶变换，并且给出了两个简单的结构[37~38]。分数傅里叶变换在光学研究中的实现给光学信息处理带来了新的活力。另外，针对分数傅里叶变换的积分定义，Y.B.Karasik研究了分数傅里叶变换积分核

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的一些基本性质。

1994年8月，在苏格兰爱丁堡（Edinburgh）举行的光计算国际会议上，H.M.Ozaktas等人提出了可利用分数傅里叶变换进行分数傅里叶域的空间变化性滤波[40]。L.M.Brnardo等人提出利用分数傅里叶变换制作光学相关器的构想[41]。Soo-Young.Lee等人将分数傅里叶变换同自适应神经网络模型进行类比，得到一种基于分数傅里叶变换的自适应神经网络模型结构[42~43]。这些可能的应用使人们对分数傅里叶变换有了更新的认识。同时，G.S.Agarwal和R.Sinon把分数傅里叶变换同谐振子的格林函数联系起来，并推出了分数傅里叶变换同菲涅尔变换的关系[44]。9月，P.P.Finet利用代数法讨论了分数傅里叶变换同菲涅尔衍射的

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关系，给出了一种基于菲涅尔衍射的分数傅里叶变换结构[45~46]。L.M.Brnardo和O.D.D.Soares研究了分数傅里叶变换结构与成像的关系[47~48]。11月，Rainer G.Dorsch等人给出了利用分数傅里叶变换进行“Chirp”滤波的数值模拟结果和实验结论[49]。H.M.Ozaktas指出，分数傅里叶变换可用来研究光学传播及球面谐振腔成像问题[50]。A.W.Lohmann将光学分数傅里叶变换应用于时间信号的变换与分析之中，提出可利用光电调制器和光纤来构造基于分数傅里叶变换的光学信息处理系统[51]。同时，L.B.Alnoida研究了时间-频率表象同分数傅里叶变换的关系，指出一个信号的分数傅里叶变换可以表示为一系列“Chirp”信号的叠加[52]。S.Abe等人则从数学上研究了分数傅里叶变换在相空间的旋转特性，指出可以利用分数傅里叶变换进行波前的分析和校[53]正。

1995年，D.Mendlovic、H.M.Ozaktas和A.W.Lohmann三人利用分数傅里叶变换的概念，提出了分数相关的定义，并给出了可能的实现结构和相应的数值模拟结果[54]。A.W.Lohmann采用调焦透镜组合结构实现分数傅里叶变换和Y.Bitran等人提出的利用非对称结构实现分数傅里叶变换的构想，使分数傅里叶变换的

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实验实现更为方便。刘树田和张岩等人研究了光学分数傅里叶变换级联的尺度问题，给出可实现光学分数傅里叶变换的推广结[56~58]构。4月，H.M.Ozaktas和D.Mendlovic总结了光学分数傅里叶变换的发展过程，研究了菲涅尔衍射和光学分数傅里叶变换的关系[59]。与此同时，S.Abc等人也提出了菲涅尔衍射和光学分数傅里叶变换的关系[60]。5月，D.F.Mcalister等人运用相空间背投影（分数傅里叶变换的相空间旋转）得到光场的Wigner函数分布，并利用其研究光场的相干强度[61]。R.G.Dorsch提出了利用分数傅里叶变换指导透镜设计的构想[62]。C.C.Shih利用矩阵光学分解的方法得到了复数级傅里叶变换的实现结果[63]，并于当年8月提出了一种新的分数傅里叶变换的定义形式，即态函数叠加的方法[64]。D.Mendlovic和A.W.Lohmann等人报道了利用透镜组合分数傅里叶变换结构和计算全息方法实现分数相关的实验结果，指出分数相关可解决平移变化的模式识别问题[65]。9月，S.Granier将光学分数傅里叶变换研究同自成像现象联系起来，指出可利用它来定义光学分数傅里叶变换[66]。10月，O.Aytur和Ozaktas研

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