小波变换与分数傅里叶变换理论与应用-哈工大出版社(7)

使傅里叶级数表达式在L2?0, 2??空间中拥有一种工程的或物理的解释，即每个能量有限的“振动”都可以分解成各种频率的谐波的叠加。同时，函数的傅里叶变换系数序列? cn ; n?Z?和原来的函数f?x?之间有完全对等的关系，而且，从内积或范数来看，成立著名的Parsevel恒等式

12π?02πf?x? dx?2n???? cn??2

因此，傅里叶级数方法为周期信号的分析提供了一种简明的工具，即频点分析或谱线分析。

另外，傅里叶级数表达式在理论上给出函数空间L2?0, 2??的一个极为优美的表达，即仅凭一个函数g?x?就可以生成整个空间L2?0, 2??，而且，可以将空间L2?0, 2??等同于序列空间

??2??l2?Z???? cn ; n?Z? ; ?cn????

??n?Z??即前述由函数g?x?经过膨胀生成的基将函数空间L2?0, 2 π?“序列

化”了。但是，作为傅里叶变换的另一部分，傅里叶变换却没有保持傅里叶级数的这些优良性质。

1.4.2 傅里叶变换和小波变换

现在，考虑函数空间L2?R?上的傅里叶变换。对于空间L2?R?中的任何函数f?x?，它的傅里叶变换定义是

F?????????f?x? e-i? xdx

这时，傅里叶变换的反演公式是

1??-i? x??f?x??F? ed?

2 π???直观地看，函数e-i? x好像是空间L2?R?的基，而且，当频率?取整数离散数值??n时，它就变成了傅里叶级数中的基函数einx，因此，可以把ei? x看作函数einx按频率意义的连续形式，而einx则是函数ei? x的整数离散形式。但是，这两者显然有很大差异：首

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先，函数空间L2?R?和L2?0, 2??是完全不同的，其次，因为L2?R?中的每个函数在无穷远处必须“衰减”到零，所以，ei? x不在信号空间L2?R?中，特别是各种整数频率的“波”gn?x??einx肯定不在L2?R?中。因此，虽然 einx ; n?Z构成L2?0, 2??的正交基，但是，无论如何ei? x也无法生成L2?R?的像L2?0, 2??的调和基

??? einx ; n?Z那样的基。

?与傅里叶级数的比较：

(1)信号的傅里叶变换F???相应于傅里叶级数中的傅里叶系数，积分从全实数轴变为有限的闭区间；

(2)傅里叶级数相当于傅里叶变换的反演公式，离散的级数求和变成了全实数轴上的积分。因此，这两者不能像小波变换的连续形式和离散形式那样用一个统一的形式进行描述，而且，傅里叶变换的离散形式

F?n????????f?x? e-in?xdx

所产生的离散数字序列?F?n?? ; n?Z?按照傅里叶基函数ei? x的离散形式 ein? x ; n?Z用傅里叶级数的方式去试图表示原来的函数或信号时，?F?n?? ein?x是一个周期为2 π?的函数，它肯定

n?Z??不在L2?R?中。因此，傅里叶变换的两部分, 即傅里叶级数和傅里叶变换，基本上是不相关的，而且后者丧失了前者在空间L2?0, 2??中的各种简明性质。

像在L2?0, 2??中那样，寻找L2?R?的“波”生成整个的空间L2?R?，那么这个波在无穷远处必须“衰减”到零。那么，因为

这些波都很快衰减到零，它怎么才能覆盖整个实直线R呢？显然，最好的办法是保持这些波形并沿R移动它们的位置。如前述将L2?R?中的这种“波”称为“小波”，我们的愿望是小波的“伸缩”和“平移”可以生成空间L2?R?。当然，小波的“伸缩”将不再具有简单的“频率点”的含义，而更像“频带”，在讨论小波的时-频分析时，将详细说明这些内容。这里，应该特别强调的是，在一定的条件限制之下，小波的“伸缩”按二进的方式离

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散化，它的“平移”按二进整倍数的方式离散化，由此所得的离散小波函数族可以构成空间L2?R?的标准正交基，同时，连续小波变换和离散小波变换有相同的形式，而且它们所能分析的对象都是整个的空间L2?R?（这是傅里叶变换所没有的特性），这是小波变换独特的风采之一。

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第2章 多分辨分析和小波构造

在第1章讨论了小波分析产生的历史背景、小波变换以及它与傅里叶分析的对比，在那里已经指出，连续小波变换和离散小波变换具有统一的形式，特别是正交小波的引入，使一个小波函数的“伸缩”和“平移”产生的函数族能够构成函数空间L2?R?的一个标准正交基，这样一来，空间L2?R?的任何函数f?x?都可以展开成正交小波级数，函数和它对应的正交小波级数的系数序列形成一一对应关系，这些系数序列都在序列空间l2?Z?中，于是得到空间L2?R?和空间l2?Z?的对等关系，从而，在正交小波的极为简明的代数结构的基础上实现了空间L2?R?的“序列化”。这时，自然而然就会问这样一些问题：除第1章已经知道的Haar正交小波外，具有如此良好性质的正交小波是否存在？再者，考虑到实际应用的需要，这样的小波是否足够丰富，除少数典型的正交小波之外，另外的正交小波能否具备某些特殊的分析性质，以满足各种不同的实际问题的特殊需要？还有，如果这样的正交小波确实存在，那么，如何具体把它们构造出来？最后，如果没有有效的构造方法可以同时保持正交性和一些特殊性质，那么，能否在放弃正交性的条件下实现特定小波的简单构造？从小波和小波变换的定义出发，这些问题并没有显而易见的答案。这一章的内容就围绕这些问题以及一些相关问题展开研究。

2.1 Shannon小波

Shannon小波是本书介绍的第二个正交小波，也是仅有的几个可以写出解析表达式的正交小波之一。Shannon小波的构造要比Haar小波复杂一些，但构造的过程具有一般意义，很像多分辨分析，所以，在这里详细介绍。

为了叙述得容易些，直接引用信息论中的Shannon采样定理和Shannon插值公式。

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Shannon定理 设信号f?x??L2?R?，如果存在B>0，使

F????0 ? ?B,a.e.??R

这里F???是f?x?的傅里叶变换，则称f?x?是B频率截断的，这时，只要采样间隔??πB，信号f?x?按间隔?进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列? f?n?? ; n?Z?可按如下公式构造原信号

f?x??n?Z?f?n??sin??1 π?x?n?? ??1 π?x?n??上式称为Shannon插值公式。特别地，在Shannon定理中，当B=?时，可得

f?x???f?n??x?n? πn?Zsin?x?n? π

取函数??x??sin?xπ??xπ?，那么，对?频率截断的信号f?x?，总有

f?x???f?n? ??x?n?

n?Z利用傅里叶变换的Parseval恒等式可以验证

????n? , ????l?????x?n? ??x?l? dx?R12 π? ???? R2?i??n?l?e dx???n?l?

其中函数????是??x?的傅里叶变换

????????1 ? ?π

0 ? ?π??这说明函数族? ??x?n? ; n?Z?是空间L2?R?的标准正交系。同时，容易验证

V0?? f?x? ; F????0, ? ?π?

是空间L2?R?的闭线性子空间。因此，前述函数族构成子空间V0的标准正交基，而空间V0的任意信号都有唯一的级数表达式。

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