解：∵sin??513,??(?2,?) ∴cos???1?sin2???1201691191691213
∴sin2? = 2sin?cos? = ? cos2? = 1?2sin2?? tan2? = ?120119
二十、 小结：公式，应用 二十一、 作业：课本P44 练习
P47 习题4.7 1，2
第二十二教时
教材：二倍角公式的应用
目的：要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用
数学知识和逻辑推理能力。
过程：
七、复习公式：
例一、（板演或提问）化简下列各式：
1．4sin?4cos?4?2sin?2 2．
22?6tan401?tan2?40??12tan80?
3．2sin2157.5? ? 1 = ?cos315????125?12?12?1212
144．sinsin?sincos?sin?
1???5．cos20?cos40?cos80? =
sin20cos20cos40cos80sin20??????2sin40cos40cos80sin20?
1
?4sin80cos80sin20???1?8sin160sin20???18
例二、求证：[sin?(1+sin?)+cos?(1+cos?)]×[sin?(1?sin?)+cos?(1?cos?)] = sin2?
证：左边 = (sin?+sin2?+cos?+cos2?)×(sin??sin2?+cos??cos2?) = (sin?+ cos?+1)×(sin?+cos? ?1)
= (sin?+ cos?)2 ?1 = 2sin?cos? = sin2? = 右边 ∴原式得证 二十二、 关于“升幂”“降次”的应用
注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。（以下四个例题可视情况酌情选用）
例三、求函数y?cos2x?cosxsinx的值域。（《教学与测试》P115例一）
解：y?1?cos2x2?12sin2x?22sin(2x??4)?12 ——降次
22 ∵?1?sin(2x??4)?1 ∴y?[?31?2221?,]
例四、求证：sin2??cos?cos( 证：原式?次
?
?1112(1?cos2?)?12??)?sin(?3?6 ??)的值是与?无关的定值。
?3??)[1?cos(?2?)]?cos?cos( ——降
???[cos(?2?)?cos2?]?cos?(coscos??sinsin?)2333
??132(coscos2??sinsin2??cos2?)?cos??cos?sin?)23322
?14cos2??32sin2??12cos2???14(1?cos2?)??34sin2?)?14
∴sin2??cos?cos(??)的值与?无关
361?cos??sin?1?cos??sin??例五、化简： ——升幂
1?cos??sin?1?cos??sin???)?sin(22cos2?2?2?2sin?2sin?2?2coscos?2??22sin2cos2?2?2?2sin?2sin?2?2coscos?2 ?2 解：原式?2sin22??????2cos(cos?sin)2sin(sin?cos)222?222 ???????2sin(sin?cos)2cos(cos?sin)222222??1?cos?1?cos?2?)????2csc? ??(cot?tan)??(22sin?sin?sin?1?sin4??cos4?1?sin4??cos4??例六、求证：(P43 例二) ——升幂 22tan?1?tan?1?sin4??cos4?2tan???tan2? 证：原式等价于：21?sin4??cos4?1?tan? 左边?sin4??(1?cos4?)sin4??(1?cos4?)?2sin2?cos2??2sin222?2sin2?cos2??2cos2?
?
2sin2?(co2s??sin2?)2cos2?(sin2??cos2?)?tan2??右边
二十三、 三角公式的综合运用
例七、利用三角公式化简：sin50?(1?3tan10?) (P43—44 例三)
2()?sin50?12cos10?cos10???32? 解：原式?sin50?(1?3sin10cos10???sin10)?
?? ?2sin50??sin30cos10?cos30sin10cos10????2sin50sin40cos10?
?2cos40sin40cos10??sin80cos10???1
二十四、 作业：课本P47 习题4.7 3
《精编》P73—74 11，12，18，19，23
第二十三教时
教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式
目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。 过程：
八、解答本章开头的问题：（课本 P3）
令?AOB = ? , 则AB = acos? OA = asin?
∴S矩形ABCD= acos?×2asin? = a2sin2?≤a2 B C 当且仅当 sin2? = 1，
a 即2? = 90?，? = 45?时, 等号成立。 此时，A,B两点与O点的距离都是九、半角公式
在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例一、求证：sin2 ?
A O D
22a
?2?1?cos?2,cos2?2?1?cos?2?2,tan2?2?1?cos?1?cos?
证：1?在 cos2??1?2sin2? 中，以?代2?， cos??1?2sin2?2代? 即得：
∴sin2?2?1?cos?2?2 2?在 cos2??2cos2??1 中，以?代2?，
2 cos??2cos代? 即得：
?2?1
2 ∴cos2?2?1?cos?1?cos??2?1?cos?2 3?以上结果相除得：tan
注意：1?左边是平方形式，只要知道
?2角终边所在象限，就可以开平方。
?2 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3?上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） sin??2?1?cos?2,?1?cos?cos??,22?2?sin?1?cos???1?cos?tan??
21?cos? 4?还有一个有用的公式：tan十、万能公式
2tan?221?cos?sin?（课后自己证）
1?tan?2?2cos?222?2,?2tan??2tan1?tan?22例二、求证：sin??1?tan,cos??1?tan2tan?222?2
证：1?sin??sin?12sin?sin2?22?22?1?tan1?tan1?tan2tan?cos?sin?22
2?cos??cos?1cos?sin?2?2?2??2?2 ?22?cos?2cos22 3?tan??sin?cos?2sin?cos2?22?22?2?sin?2?1?tan?2
注意：1?上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆）
2?这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 即：f(tan?2)所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，
可以使解题过程简洁
3?上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 例三、已知 解：∵ ∴
2sin??cos?sin??3cos???5，求
3cos 2? + 4sin 2? 的值。
2sin??cos?sin??3cos?2tan??1tan??3??5 ∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 )
??5
22 解之得：tan ? = 2
?)??4?2tan?1?tan2 ∴原式?3(1?tan1?tan??3(1?2)1?222?4?2?21?22?75
十一、 小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主） 十二、 作业：《精编》P73 16
补充：
1．已知sin? + sin? = 1，cos? + cos? = 0，试求cos2? + cos2?的值。(1) （《教学与测试》P115 例二） 2．已知小。
(?3．已知sinx =
4534?)
?2????，?????0，tan? =?13，tan? =?17，求2? + ? 的大
，且x是锐角，求sinx2?cosx2的值。(355,?55)
4．下列函数何时取得最值？最值是多少？
1?y?sin2xcos2x (ymax? 2?y?2sinx?cos2x (yma 3?y?cos(2x?2?7)?2cos(x??7)
12321?,y??) xmin2232,ym??in1)
(ymax?3,ymin??)
?45．若?、?、?为锐角，求证：? + ? + ? = 6．求函数f(x)?cos2x?sinx在[?
??1?2,]上的最小值。() 442第二十四教时
教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式
目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练；同时，让学生推导
出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。
过程：
十三、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：
例一、已知
?2????，?????0，tan? =?13，tan? =?17，求2? + ?
（《教学与测试》P115 例三）
解：tan2??2tan?1?tan2???34 ∴tan(2???)?3?2tan2??tan?1?tan2?tan??2???0
??1
又∵tan2? < 0，tan? < 0 ∴?2??2?，?
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