人教版高中数学《三角函数》全部教案11

三角函数 第一教时

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象

限角”“终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广

1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几

何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2．讲解：“旋转”形成角（P4）

突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角?或?? 可以简记成?

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1? 角有正负之分 如：?=210? ?=?150? ?=?660? 2? 角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?） 3? 还有零角 一条射线，没有旋转 三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：30? 390? ?330?是第Ⅰ象限角 300? ?60?是第Ⅳ象

限角

585? 1180?是第Ⅲ象限角 ?2000?是第Ⅱ象限角

等

四、关于终边相同的角

1．观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k?Z)个周角的和 390?=30?+360? (k?1)

?330?=30??360? (k??1) 30?=30?+0×360?

(k?0)

1470?=30?+4×360? (k?4) ?1770?=30??5×360? (k??5)

3．所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 S???|????k?360?,k?Z?

即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 4．例一 （P5 略） 五、小结： 1? 角的概念的推广

用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2?“象限角”与“终边相同的角”

第二教时

教材：弧度制

目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的

集合与实数集R一一对应关系的概念。

过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度

B C l=2r o 1rad A

o r 2rad r A

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：?AOB=1rad ?AOC=2rad 周角=2?rad

1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2．角?的弧度数的绝对值 ??lr（l为弧长，r为半径）

3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算

抓住：360?=2?rad ∴180?=? rad ∴ 1?=

?180rad?0.01745rad?

180??? 1rad?????57.30?5718'

??? 例一 把67?30'化成弧度

?131??rad?67??rad 解：6730'??67? ∴ 67?30'?180282???? 例二 把?rad化成度

53 解：?rad?5335?180??108?

注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进

行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省

略 如：3表示3rad sin?表示?rad角的正弦

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9

表）

4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是

弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

例三 用弧度制表示：1?终边在x轴上的角的集合 2?终边在y轴

上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合

解：1?终边在x轴上的角的集合 S1???|??k?,k?Z? 2?终边在y轴上的角的集合 S2???|??k?????k????,k?Z? 2?3?终边在坐标轴上的角的集合 S3???|???,k?Z? 2?

第三教时

教材：弧度制（续）

目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的

问题。

过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答《教学与测试》P101-102练习题 1—5 并注意紧扣，

巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二

二、由公式：??lr?n?r180 l?r?? 比相应的公式l?简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式S?形弧长，R是圆的半径。

证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：

R 弧长为l的扇形圆心角为

o

S

l

lR?12?212lR其中l是扇

12??R

2lRrad

∴S? 比较这与扇形面积公式 S扇???R2?12lR

n?R360 要简单

例二 《教学与测试》P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对

的弧长 ⑴

4?3 ⑵ 165?

4?3?10?40?3(cm) ?165(ra)d?11?12rad

解： r?10cm ⑴： l???r? ⑵：165??l?11?12?10?55?6(cm)?180∴

A o B 例三 如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有

2r?l?6??r?21??? ?l?1 ∴ 扇形的面积S?rl?2(cm)2

2?l?2??r?1.5 例四 计算sin tan4

解：∵

?4?45? ∴ sin??4??sin45??22

1.5rad?57.30?1.5?85.95?8557'

?∴ tan1.5?tan85?57'?14.12

例五 将下列各角化成0到2?的角加上2k?(k?Z)的形式

⑴

解：

193193? ⑵ ?315? ?3?6?????

??315?45?360??4?2?

60 R=45 例六 求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m） 图中长度单位为：m 解： ∵ 60???3

?3?45?3.14?15?47(m)

∴ l???R?三、练习：P11 6、7 《教学与测试》P102 练习6 四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10

P12-13 习题4.2 5—14 《教学与测试》P102 7、8及思考题

第四教时

教材：任意角的三角函数（定义）

目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解?角与?=2k?+?(k?Z)

的同名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义：

1．设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y） 则P与原点的距离r?2．比值

yrx2?y2?x?y22?0（图示见P13略）

叫做?的正弦 记作： sin??xryr

xryx 比值 比值

??叫做?的余弦 记作： cos

yx叫做?的正切 记作： tan??

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