0)?(0，1]上的奇函数，18. 已知f(x)是定义在[?1，当x?[?1，0]时，f(x)?2ax?（a为实数）．
（1）当x?(0，1]时，求f(x)的解析式；
（2）若a??1，试判断f(x)在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a，使得当x?(0，1]时，f(x)有最大值?6．
1x219. 已知f(x)?kx?x?x?5在R上单调递增，记?ABC的三内角A,B,C的对应边分
2222别为a,b,c，若a?c?b?ac时，不等式fm?sinB?cos(A?C)?f(2m?32??33)恒成4立．
（Ⅰ）求实数k的取值范围； （Ⅱ）求角cosB的取值范围； （Ⅲ）求实数m的取值范围．
31
20. 已知函数f(x)?ax?33(a?2)x2?6x?3 2 （I）当a?2时，求函数f(x)的极小值
（II）试讨论曲线y?f(x)与x轴的公共点的个数。
答案：
1.
（
1
）
由
1f?x???(a?2)x3?bx2?(a?2)x3，则
f'?x???(a?2)x2?2bx?(a?2)
因为f?x?在x?1和x?3处取得极值，所以x?1和x?3是f'?x??0的两个根
??(a?2)?12?2b?1?(a?2)?0?a??12 ?f'x??x?4x?3 ?????2??(a?2)?3?2b?3?(a?2)?0?b??2因为f?x?的图像上每一点的切线的斜率不超过2sintcost?23cost?3 2所以f'?x??2sintcost?23cos2t?3对x?R恒成立， 而f'?x????x?2??1，其最大值为1． 故2sintcost?23cost?3?1
22???7???2sin?2t???1?k???t?k??,k?Z
3?412?（2）当a??2时，由f?x?在R上单调，知b?0
当a??2时，由f?x?在R上单调?f'?x??0恒成立，或者f'?x??0恒成立． ∵f'?x???(a?2)x?2bx?(a?2)，
2???4b2?4(a2?4)?0可得a2?b2?4
32
从而知满足条件的点P?a,b?在直角坐标平面aob上形成的轨迹所围成的图形的面积为
S?4? 2. （Ⅰ） b=0
?f(x)?ax3?cx（Ⅱ）
?f'(x)?3ax2?c?0的两实根是?,?
?????0?则 ?c
?????3a?|AB|＝2?(???)?(f(?)?f(?))?4?(???)?2 ?4?222c3?2?c??a 3a2?f(?)?f(?)?????a?3?c??a?3?c?????
?a(?2?????2?c)??1?a[(???)2?3???c]??1
c33?a(??c)??1??c?ac??1?a?a2??1
a22 又a?03?a?1 f(x)?x3?x
2（Ⅲ） x?[?2,1]时，求f(x)的最小值是-5
6(m?6)(m?1)??0 mm m??6或0?m?1
?5?m?3. ⑴ ∵f?x?在??1,0?和?0,2?上有相反单调性，
∴ x=0是f?x?的一个极值点，故f'?x??0， 即3ax2?2bx?c?0有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵f?x?交x轴于点B（2，0） ∴8a?4b?d?0,即d??4?b?2a?
令f'?x??0，则3ax2?2bx?0,x1?0,x2?? ∵f?x?在?0,2?和?4,5?上有相反的单调性
2bb ∴2???4， ∴?6???3
3aa
33
2b 3a 假设存在点M（x0，y0），使得f?x?在点M的切线斜率为3b，则f'?x0??3b
2 即 3ax0?2bx0?3b?0
?b?2 ∵ △=?2b??4?3a???3b??4b2?36ab?4ab??9?
?a?b 又?6???3， ∴△＜0
a ∴不存在点M（x0，y0），使得f?x?在点M的切线斜率为3b． ⑶ 依题意可令
f?x??a?x????x?2??x????ax3??2?????x2??2??2?????x?2?? ?b??a?2?????则??d??2a??b???????2??a??
d??????2a?2??AC?????∵?6?当
??????b?2d?b??4??????2?????2??16
a?a??a?22bb??3，∴当??6时，ACmax?43； aab??3时，ACmin?3 a故3?AC?43
4. （1）?f(x)?lnx,g(x)?f(x?1)?x
?g(x)?ln(x?1)?x(x??1) g?(x)?1?1 令g?(x)?0,得x?0 x?1当?1?x?0时，g?(x)?0 当x?0时g(x)?0，又g(0)?0
? 当且仅当x?0时，g(x)取得最大值0
baa?b??ln??ln(1?) abba?bb?af(b)?f(a)???由（1）知ln(1?x)?x
bb12ab?a2b(b?a)22??2又?0?a?b,?a?b?2ab??2 22ba?bba?b2a(b?a)?f(b)?f(a)?2
a?b21325. F(x)?ax?bx?cx?d(a?0)的图象过原点则d=0
3（2）f(b)?f(a)?lnb?lna?ln
34
f(x)?F?(x)?ax2?2bx?c。f(1)?0?a?c?2b（1）
（I）y=F(x)在x=-1处取得极大值2
F?(?1)?f(?1)?a?2b?c?0（2） 1F(?1)??a?b?c?2（3）
3由（1）（2）（3）得a=3, b=0, c=-3
?F(x)?x3?3x
由f(x)?3x2?3?0得x?1或x??1 由f(x)?3x2?3?0得?1?x?1
∴F(x)的单调递减区间为[-1，1]，单调递增区间为(??,?1]和[1,??) （II）f(x)?ax2?2bx?c?ax2?(a?c)x?c
g(x)?2ax?2b?2ax?(a?c)
?y?ax2?(a?c)x?c由?得ax2?(3a?c)x?a?2c?0 ?y?2ax?(a?c)设A(x1, y1)，B(x2, y2)则x1?x2?3a?cca?2cc?3?,x?x2??1?2 aaaa2线段AB在x轴上射影长m?|x1?x2|?(x1?x2)?4x1x2?(?1)?4
ca21c(1?) 2a11c由x?[?,]??[?2,0]
22a由g(x)=0得x??m?[5,13]
336. (1)由f(x)是奇函数知m?0,所以f(x)?x?3xt,g(x)?|x?3tx|(x?[?1,1])是
3/2偶函数,所以,只要求出g(x)?|x?3tx|(x?[0,1])的最大值即可. f(x)?3(x?t) ?
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