最全12M高考数学压轴题突破训练（上）(3)

x1?（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA?kNA，?tt?1x2??1x1x2＝，

x1?0x2?0即

x1?t?x1x122＝

x2?t?x2x222，化简，得(x2?x1)[t(x2?x1)?x1x2]?0，

?x1?x2，?t(x2?x1)?x2x1． ??????（3）

把（*）式代入（3），解得t?1． 2?存在t，使得点M、N与A三点共线，且 t?（Ⅲ）解法1：易知g(t)在区间[2,n?1． 264]上为增函数， n?g(2)?g(ai)?g(n?64)(i?1,2,?,m?1)， n64)． n则m?g(2)?g(a1)?g(a2)???g(am)?m?g(n?依题意，不等式m?g(2)?g(n?64)对一切的正整数n恒成立， nm20?22?20?2 ?20(n?64264)?20(n?)， nn即m?16464． [(n?)2?(n?)]对一切的正整数n恒成立，

6nn?n?641646412136?16， ?[(n?)2?(n?)]?， [16?16]?n6nn63?m?136． 3由于m为正整数，?m?6．

又当m?6时，存在a1?a2???am?2，am?1?16，对所有的n满足条件． 因此，m的最大值为6． 解法2：依题意，当区间[2,n?

64]的长度最小时，得到的m最大值，即是所求值． n11

?n?64?16，?长度最小的区间为[2,16]， n当ai?[2,16](i?1,2,?,m?1)时，与解法1相同分析，得m?g(2)?g(16)， 解得m?136． 3abx后面解题步骤与解法1相同（略）．

xx6. （1）由a?b?0得()?1，且a?1?b?0，得

a?1，所以x?0，即f(x)的定b义域为(0,??)。

（2）任取x1?x2?0,a?1?b?0，则a1?a2,b1?bxxxxxxxx2，所以a1?b1?a2?bxxxx2?0，

即lg(a1?b1)?lg(a2?b2)，故f(x1)?f(x2)。所以f(x)在(0,??)为增函数；假设函数y?f(x)的图象上存在不同的两点A(x，使直线平行于x轴，则1,y1),B(x2,y2)。这与f(x)是增函数矛盾。故函数y?f(x)的图象上不存在不同的两点使x1?x2,y1?y2过两点的直线平行于x轴。

)，f(x)?（3）因为f(x)是增函数，所以当x?(1,??时

f(1)?lg(a?b)?0，即当a?b?1时，f(x)在(1,??)上恒取正值。

f(1。)这样只需

a12?a1?a1?0或a1?1． 7. （Ⅰ）n?1时，a1?s1?2由于?an?是正项数列，所以a1?1． 当n?2时，

an2?anan?12?an?1an?sn?sn?1??，

22整理，得an?an?1??an?an?1??an?an?1?． 由于?an?是正项数列，∴an?an?1?1．

12

∴数列?an?是以1为首项，1为公差的等差数列． 从而an?n，当n?1时也满足．

∴an?n（n?N）．

*1??b?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）知n??．

?2n?对于(0,??)上的凹函数y?xn?1，有y???n?1?xn．

nx1n?1?x2n?1?(n?1)x1n． 根据定理，得

x1?x2nn?1n?1x?nx?x?整理，得x1?． ??21?2?令x1?1?11,x2?1?，得(n?1)x2?nx1?1． 2n2(n?1)n?1n1??1??nn?1∴x1?x2，即?1??1?????2n??2?n?1??．

∴bn?bn?1． （Ⅲ）由（Ⅱ），得bn?bn?1???b2?b1?8. （1）由已知：f?(x) = 依题意得：

ax?1?a?0? ax23． 2ax?1≥0对x∈[1，+∞)恒成立 2ax ∴ax－1≥0对x∈[1，+∞)恒成立 ∴a－1≥0即：a≥1 （2）∵a=1 ∴由（1）知：f（x）=

1?1?x?lnx在[1，+∞)上为增函数， xnnnn1 ∴n≥2时：f（）=n?1?ln?ln??f?1??0

nn?1n?1n?1nn?1 13

即：

∴

1n ?lnnn?1111123n??????ln?ln???ln?1nn 234n12n?1设g（x）=lnx－x x∈[1，+∞)， 则g?(x)?∴g′（x）在[1+∞)为减函数 ∴n≥2时：g（即：ln

1?1?0对x?[1,??)恒成立， xnnn）=ln－

1综上所证：

111111（n∈N*且≥2）成立. ?????lnn?n?????23n23n?19. （1）当n?2时，因为an?4an?11kan?1?111k????，所以，所以

kan?1?1an4an?14an?141k1?1k??????.因此： an34?an?13??1?① 当k?3时，数列??1?是各项为0的常数列，所以an?1.

?an??1k?1k② 当1?k?3时，数列???是以1?为首项，为公比的等比数列，所以

43?an3?1k?k??1????1????an3?3??4?n?13?4n?1，所以an?.又a1?1适合此式，因此

k?4n?1?3?k3?4n?1*an?n?N??.

k?4n?1?3?k3?4n?1n?N*?. 综①②，得an??n?1k?4?3?k3?4n?133?4n?133k?9*n?N（2）由an?，得. a??????nk?4n?1?3?kkk?4n?1?3?kkkk?4n?1?3?k?? 14

因为1?k?3，所以

an?33k?91??kkk?4n?13k?911，所以?0,?kk?4n?1?3?kk?4n?13k?91?2?n?1，

k43n?8k?3??3?3????a1????a2??????an???8 kk??k?k???所以a1?a2???an?n4?k?3???1??4?k?3?4?2k?3??k?1?3k?9?11???1?????8??1??8??8???????22k2?44n?1?k24kk??????因为1?k?3，所以

4?2k?3??k?1?k2?0，因此不等式a1?a2???an?3n?8k成立. k10. （1）当n?2时，因为an?4an?112an?1?1111????，所以，所以

2an?1?1an4an?14an?12?12?121?12?11?????.因此数列???是以为首项，为公比的等比数列，所以an34?an?13?43?an3?121?1?????an33?4?n?1，

3?4n?13?4n?1n?N*?. 所以an?.又a1?1适合此式，因此an??n?1n?12?4?12?4?13?4n?1n?N*?. 综①②，得an??n?12?4?13?4n?133?4n?13?3*n?N（2）由an?，得. a??????n2?4n?1?122?4n?1?1222?4n?1?1??因为

12?4n?1?1?13313，所以， a??????n2?4n?1222?4n?14n3n?16?3??3?3????a1????a2??????an???8 22??2?2???所以a1?a2???an???1?n?1??11???3????2??n??8???1?????8?0.因此不等式

4??44???4???a1?a2???an?3n?16成立. 215

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