导数在函数中的应用（导数好题解析版）(8)

是

2?a； e③当?(a?1)??1，即a?0时．

x f?(x) f(x) (??，?1) + ↗ ?1 0 极大值 (?1，?a?1) - ↘ ?a?1 0 极小值 (?a?1，??) + ↗ 所以 当x??1时，函数有极大值是

2?a，当x??a?1时，函数有极小值是ee?a?1(a?2)．

综上所述，当a?0时函数无极值；

当a?0时，当x??a?1时，函数有极大值是e?a?1(a?2)，当x??1时，函数有极小值是

2?a2?a；当a?0时，当x??1时，函数有极大值是，当x??a?1时，函数有极ee小值e?a?1(a?2).．

9．（2011·温州十校期末联考）（本题满分15分）已知函数f(x)?(x2?3x?3)?ex，其定义域为??2,t? （t??2）,设f(?2)?m,f(t)?n.

（1）试确定t的取值范围,使得函数f(x)在??2,t?上为单调函数； （2）试判断m,n的大小并说明理由. 【解析】 (1)?f?(x)?(x?x)e 令f?(x)?0，则x?1或x?0,

2x?f(x)在(??,0],[1,??)上单调递增，在[0,1]上单调递减

??2?t?0

①若?2?t?0，则f(x)在[?2,t]上单调递增，?f(t)?f(?2)， 即n?m

②若0?t?1，则f(x)在[?2,0]上单调递增，在[0,t]上单调递减 又f(?2)?13,f(1)?e，?f(t)?f(1)?f(?2)，即n?m e2③若t?1，则f(x)在(??,0],[1,t]上单调递增，在[0,1]上单调递减

?f(t)?f(1)?f(?2)，即n?m，综上，n?m.

?2??2?10.(2011·杭州一检)已知函数f(x)满足f(x)?x3?f'??x2?x?C（其中f'??为f(x)在

?3??3?点x?2处的导数，C为常数）． 3?2?（1）求f'??的值；

?3?（2）求函数f(x)的单调区间；

（3）设函数g(x)?[f(x)?x]?e，若函数g(x)在x?[?3,2]上单调，求实数C的取

值范围．

3x?2??2?【解析】（1）由f(x)?x3?f'??x2?x?C，得f'(x)?3x2?2f'??x?1．

?3??3?

2?2??2??2??2?取x?，得f'???3????2f'??????1，

3?3??3??3??3??2?解之，得f'????1，

?3?2

（2）因为f(x)?x3?x2?x?C．

1??从而f'(x)?3x2?2x?1?3?x???x?1?，列表如下：

3??x f '(x) f(x)

1(?? , ?) 3＋ ↗ 1? 30 有极大值 1(? , 1) 3－ ↘ 1 0 有极小值 (1 , ??) ＋ ↗ ∴f(x)的单调递增区间是(??,?)和(1,??)；

131f(x)的单调递减区间是(?,1)．

3（3）函数g(x)?(f(x)?x)?e?(?x?x?C)?e，

3x2x

有g（x)?(?2x?1)e?(?x?x?C)e=（–x2– 3 x+C–1）ex，

/x2x

当函数在区间x?[?3,2]上为单调递增时，等价于h（x）= –x2– 3 x+C–1?0在x?[?3,2]上恒成立, 只要h（2）?0，解得c ?11，

当函数在区间x?[?3,2]上为单调递减时，等价于h（x）= –x2– 3 x+C–1?0在x?[?3,2]上恒成立, 即?=9?4(c?1)?0，解得c ? –

5， 4 所以c的取值范围是c ?11或c ? –

5． 4

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