导数在函数中的应用（导数好题解析版）(2)

1.求函数的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域，求导数f'(x) . (2)求方程f'(x)?0的根.

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查

f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果

左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.

2.求函数在[a,b]上最值的步骤：（1）求出f(x)在(a,b)上的极值. （2）求出端点函数值f(a),f(b).

（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

x?x0处取得极值是f'(x0)?0的充分不必要条件. 注:可导函数y?f(x)在

【例4】（A类）若函数f(x)?mcosx?1?sin2x在x?处取得极值,则m? . 24'【解题思路】若在x0附近的左侧f(x)?0，右侧f?(x)?0，且f'(x0)?0,那么f(x0)是

f(x)的极大值；若在x0附近的左侧f'(x)?0，右侧f'(x)?0，且f'(x0)?0,那么f(x0)是f(x)的极小值.

'【解析】因为f(x)可导,且f(x)??msinx?cos2x,所以f()??msin'??44?cos?2?0,

解得m?0.经验证当m?0时, 函数f(x)?1?sin2x在x?处取得极大值. 24【注】 若f(x)是可导函数，注意f?(x0)?0是x0为函数f(x)极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右判断单调性.

【例5】（B类）（2011北京文18）已知函数（I）求

f?x???x?k?ex，

f?x?的单调区间；（II）求

f?x?在区间

?0,1?上的最小值.

【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论.

/x/f?x?(??,k?1)f(x)?(x?k?1)ef【解析】（I），令(x)?0?x?k?1；所以在上

递减，在(k?1,??)上递增；

（II）当k?1?0,即k?1时，函数

f?x?在区间

?0,1?上递增，所以f(x)min?f(0)??k；

f?x?在区间

当0?k?1?1即1?k?2时，由（I）知，函数

k?1f(x)?f(k?1)??emin上递增，所以；

?0,k?1?上递减，(k?1,1]当k?1?1,即k?2时，函数

f?x?在区间

?0,1?上递减，f(x)min?f(1)?(1?k)e.

所以

【例6】（B类）设x?1,x?2是f?x??alnx?bx?x函数的两个极值点.

（1）试确定常数a和b的值； （2）试判断x?1,x?2是函数【解析】（1）f'f?x?的极大值点还是极小值点，并求相应极值.

?x??a?2bx?1, x2?a?2b?1?0a???'????f?1??0?3??1由已知得：?' ??

1f2?0a?4b?1?0??b???????2?6?（2）x变化时.f?(x),f(x)的变化情况如表：

x （0，1） — 1 0 极小值 （1，2） + 2 0 极大值 — f，?x?f?x? 542?ln2fxfx故在x?1处，函数??取极小值6；在x?2处，函数??取得极大值33.

【课堂练习】

211(,??)f(x)??x3?x2?2ax324.（A类）（2011江西理19）设.若f(x)在3上存在单调

递增区间，求a的取值范围.

【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值.

2(,??)【解析】f(x)在3上存在单调递增区间， 2(m,n)?(,??)'f3即存在某个子区间 使得(x)?0.

11f'(x)??x2?x?2a??(x?)2??2a24由， 22[,??)f'()?0f(x)在区间33上单调递减，则只需即可.

'221f'()??2a?0a??9， 39由解得

a??所以，当

12(,??)9时，f(x)在3上存在单调递增区间.

?5.（B类）（2011陕西文21）设f(x)?lnx，g(x)?f(x)?f(x)． 1g()（1）求g(x)的单调区间和最小值； （2）讨论g(x)与x的大小关系；

【解题思路】（1）先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题．

f(x)?lnx,g(x)?lnx?【解】（1）由题设知

x?11g?(x)?2,x令g?(x)?0得x=1， x，∴

?当x∈（0，1）时，g(x)＜0，g(x)是减函数，故（0，1）是g(x)的单调减区间. ?当x∈（1，+∞）时，g(x)＞0，g(x)是增函数，故（1，+∞）是g(x)的单调递增区间，

因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)?1.

111(x?1)2g()??lnx?xh(x)?g(x)?g()?lnx?x?h?(x)??xx，则x2， (2)x，设1g(x)?g()x，当x?(0,1)?(1,??)时，h?(x)?0， 当x?1时，h(1)?0，即

1g(x)?g().x 因此，h(x)在(0,??)内单调递减，当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即

32f(x)?x?3ax?(3?6a)x?12a?4(a?R) 6.（C类）（2011全国Ⅱ文20）已知函数

(Ⅰ)证明：曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)； （Ⅱ）若

f(x)在x?x0处取得极小值，x0?(1,3),求a的取值范围.

f'(x0)?0.

【解题思路】在某点处取得极值可得

2f?(x)?3x?6ax?(3?6a)，f?(0)?3?6a，又f(0)?12a?4 【解析】(Ⅰ)

曲线y?f(x)在x?0的切线方程是：y?(12a?4)?(3?6a)x，在上式中令

x?2，得y?2.

所以曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)；

2?（Ⅱ）由f(x)?0得x?2ax?1?2a?0，

（i）当?2?1?a?2?1时，f(x)没有极小值； (ii)当a?2?1或a??2?1时，由f?(x)?0得

x1??a?a2?2a?1,x2??a?a2?2a?1故

x0?x2.由题设知1??a?a2?2a?1?3，当a?2?1时，不等式

1??a?a2?2a?1?3无解；

5?a??2?121??a?a?2a?1?32a??2?1当时，解不等式得

?5(?,?2?1)综合(i)(ii)得a的取值范围是2.

【例7】（A类） 当x?0时，求证e?1?x 【解题思路】先移项,再证左边恒大于0

【解析】设函数f(x)?e?(1?x)?f?(x)?e?1

x当x?0时， e?e?1，?f?(x)?e?1?0故f(x)在[0,??)递增，?当x?0x0?f(x)?0，时，f(x)?f(0),又f(0)?e?(1?0)?0，即e?(故e?1?x. 1?)x?0，

xx0xxx【注】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来

证明

【例8】（C类）（2010辽宁文）已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1.

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）设a??2，证明：对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)|?4|x1?x2|. 【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性

a?12ax2?a?1?2ax?【解析】(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)?. xx当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少；

当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?a?1.当x∈(0, 2a??a?1)时, f?(x)＞0； 2ax∈(?a?1，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, 2aa?1a?1）单调增加，在（?，2a2a+?）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

即

f(x1)?f(x2)?4x1?4x2,

f(x2)?4x2?f(x1)?4x1

令g(x)?f(x)?4x,则

a?12ax2?4x?a?1g?(x)??2ax+4＝.

xx?4x2?4x?1?(2x?1)2于是g?(x)≤＝≤0.

xx从而g(x)在（0，+?）单调减少，故

g(x1)?g(x2)，

故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)?4x1?x2. 【例9】（C类）设函数f(x)?(x?a)x,a?R.

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