导数在函数中的应用（导数好题解析版）(6)

设g(x)?2x3?3x2?t?12，只要使曲线有3个零点即可． 设 g?(x)?6x2?6x=0， ∴ x?0或x?1分别为g(x)的极值点， 当x?(??,0)和(1,??)时g?(x)?0，g(x)在(??,0)和 (1,??)上单增， 当x?(0,1)时g?(x)?0，g(x)在(0,1)上单减， 所以，x?0为极大值点，x?1为极小值点.

?g(0)?0?t?12?0所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当?即?，

g(1)?0t?11?0??解得?12?t??11.

6.已知函数f?x???x?ax?bx?c图像上的点P?1,?2?处的切线方程为y??3x?1．

32（1）若函数f?x?在x??2时有极值，求f?x?的表达式 （2）函数f?x?在区间??2,0?上单调递增，求实数b的取值范围 【解析】f'?x???3x2?2ax?b，

因为函数f?x?在x?1处的切线斜率为-3， 所以f?1???3?2a?b??3，即2a?b?0，

'又f?1???1?a?b?c??2得a?b?c??1.

（1）函数f?x?在x??2时有极值，所以f'??2???12?4a?b?0，

解得a??2,b?4,c??3， 所以f?x???x?2x?4x?3．

32（2）因为函数f?x?在区间??2,0?上单调递增，所以导函数f在区间??2,0?上的值恒大于或等于零，

'?x???3x2?bx?b

??f'??2???12?2b?b?0,则?得b?4，所以实数b的取值范围为?4,??? ??f'?0??b?0,7．设函数f(x)?xe2x?1?ax3?bx2，已知x??2和x?1为f(x)的极值点．

（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅲ）设g(x)?23x?x2，试比较f(x)与g(x)的大小． 3【解析】（Ⅰ）因为f?(x)?ex?1(2x?x2)?3ax2?2bx?xex?1(x?2)?x(3ax?2b)，

又x??2和x?1为f(x)的极值点，所以f?(?2)?f?(1)?0，

??6a?2b?0，1因此? 解方程组得a??，b??1．

3?3?3a?2b?0，（Ⅱ）因为a??，b??1，所以f?(x)?x(x?2)(ex?1?1)， 令f?(x)?0，解得x1??2，x2?0，x3?1．

131)时，f?(x)?0； ?2)?(0，因为 当x?(??，0)?(1，??)时，f?(x)?0． 当x?(?2，1)上是单调递减的． 0)和(1，??)上是单调递增的；在(??，?2)和(0，所以 f(x)在(?2，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)?xe2x?11?x3?x2， 3故f(x)?g(x)?x2ex?1?x3?x2(ex?1?x)， 令h(x)?ex?1?x，则h?(x)?ex?1?1．

令h?(x)?0，得x?1，因为x????，1?时，h?(x)≤0，

所以h(x)在x????，1?上单调递减．故x????，1?时，h(x)≥h(1)?0； 因为x??1，???时，h?(x)≥0，所以h(x)在x??1，???上单调递增． 故x??1，???时，h(x)≥h(1)?0．

??)，恒有h(x)≥0，又x所以对任意x?(??，??)，恒有f(x)≥g(x)． 故对任意x?(??，8.已知函数f(x)?(x?3x?ax?b)e

32?x2≥0，因此f(x)?g(x)≥0，

（Ⅰ）如果a?b??3，求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明

???＜6.

【解析】（Ⅰ）当a?b??3时，f(x)?(x3?3x2?3x?3)e?x，故

f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x

?3 ??e?x(x ?9x)x ?? x(x?3)(x?3?e)当x??3或0?x?3时，f'(x)?0; 当?3?x?0或x?3时，f'(x)?0.

从而f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加，在（?3，单调减少. 0），（3，??）(Ⅱ)f'(x)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a]. 由条件得：f'(2)?0,即23?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a,从而

f'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a].

因为f'(?)?f'(?)?0,所以

x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)

?(x?2)(x?(???)x???). 将右边展开，与左边比较系数得，?????2,???a?2.故

2????(???)2?4???12?4a.

又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6. 于是????6. 9.设函数f(x)?ax?1(a,b?Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?3. x?b（Ⅰ）求y?f(x)的解析式：

（Ⅱ）证明：函数y?f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线y?f(x)上任一点的切线与直线x?1和直线y?x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

1?2a??3,?12?b? 解析：（Ⅰ）f?(x)?a?，于是?21(x?b)?a??0.2??(2?b)9?1a??,f(x)?x???a?1,?4x?1． 解得? 或?因为a,b?Z，所以

?b??1,?b??8.?3? （II）证明：已知函数y1?x,y2?所以函数g(x)?x?1都是奇函数， x1也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形. x1?1. 而函数f(x)?x?1?x?1可知，函数g(x)的图像按向量a=(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数y?f(x)的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形. （III）证明：在曲线上任一点(x0,x0?1). x0?1由f(x0)?1?'1知，过此点的切线方程为

(x0?1)2x02?x0?11y??[1?](x?x0).

x0?1(x0?1)2令x?1得y?x0?1x?1). ，切线与直线x?1交点为(1,0x0?1x0?1令y?x得y?2x0?1，切线与直线y?x交点为(2x0?1,2x0?1). 直线x?1与直线y?x的交点为(1,1).

从而所围三角形的面积为

1x0?112?12x0?1?1?|2x0?2|?2.

2x0?12x0?1所以, 所围三角形的面积为定值2.

综合迁移（C类）

1．已知函数f(x)?1?aln(x?1),其中n?N*,a为常数. n（1?x)（I）当n?2时，求函数f(x)的极值；

（II）当a?1时，证明：对任意的正整数n，当x?2时，有f(x)?x?1. 【解析】（Ⅰ）解：由已知得函数f(x)的定义域为?x|x?1?，

12?a(1?x)2?aln(x?1)，所以f?(x)?当n?2时，f(x)?． 23(1?x)(1?x)（1）当a?0时，由f?(x)?0得x1?1?22?1，x2?1??1， aa此时f?(x)??a(x?x1)(x?x2)．

(1?x)3当x?(1，x1)时，f?(x)?0，f(x)单调递减； 当x?(x1，??)时，f?(x)?0，f(x)单调递增． （2）当a≤0时，f?(x)?0恒成立，所以f(x)无极值． 综上所述，n?2时， 当a?0时，f(x)在x?1?当a≤0时，f(x)无极值． （Ⅱ）当a?1时，f(x)??2?a?2?2?1?ln处取得极小值，极小值为f?1????． ??a?2?a?a?1?ln(x?1)． n(1?x)1≤1，

(1?x)n当x≥2时，对任意的正整数n，恒有

故只需证明1?ln(x?1)≤x?1．

x(?令 h(x)?x?1?(1?ln则 h?(x)?1?1)?)x??2xln?(x??2，，???，

1x?2?， x?1x?1

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