导数在函数中的应用（导数好题解析版）(3)

(Ⅰ)若x?1为函数y?f(x)的极值点，求实数a；

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(??,2]，恒有f(x)≤4成立. 【解析】(Ⅰ) f?(x)?(x?a)(3x?a) f?(1)?(1?a)(3?a)?0 a?1 或a?3，检验知符合题意 （Ⅱ）(x?a)2x?4在x∈(??,2]时恒成立 当x?0时，显然恒成立

当0?x?2时 由(x?a)2x?4得a?x?2x在x∈(0,2]时恒成立

x?22在x∈(0,2]时恒成立 ?a?x?xx令g(x)?x?22,h(x)?x?,x?(0,2]， xx在(0,2]单调递增 ∴g(x)max?g(2)?2?2 g(x)?x?2xh?(x)?1?1xx?xx?1xx

0?x?1时，h(x)单调递减 ，1?x?2时h(x)单调递增

∴h(x)min?h(1)?3 ∴2?2?a?3 【课堂练习】

7．（C类）已知函数f(x)?3.求f(x)的单调区间； 4.证明：lnx

【解题思路】注意求导时的定义域；先移项,再证左边恒大于0 【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)?x?1?alnx（a?R）

1ax?2ax?1 ??x2x?12xx?1①当a?0时，f?(x)>0，f(x)在(0,??)上递增

222②当a?0时，令x?2ax?1得x?4ax?4a?0解得：

x1?2a2?2aa2?1,x2?2a2?2aa2?1，因x1?0（舍去），故在(0,2a2?2aa2?1)上f?(x)<0，f(x)递减；在(2a2?2aa2?1,??)上，f?(x)>0，f(x)递增. （2）由（1）知g(x)?x?1?lnx在(0,2?22)内递减，在(2?22,??)内递增.

[g(x)]min?g(2?22)?1?2?ln(2?22)

故x?1?lnx?1?2?ln(2?22)，又因2?22?5?e 故1?2?ln(2?22)?1?2?lne2?2?1?0，得x?1?lnx 8.（C类）（全国Ⅰ卷理20）已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1. （Ⅰ）若xf'(x)?x?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0 .

【解题思路】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

22f?(x)?【解析】（Ⅰ）

x?11?lnx?1?lnx?)?xln?x, 1xx， xf?(x2?xf(x)?x?ax?1等价于lnx?x?a. 题设

令g(x)?lnx?x，则

'g?(x)?1?1x

'1，g(x)＞0；当x≥1时，g(x)≤0，x?1是g(x)的最大值点， 当0＜x＜??1,???.

g(x)≤g(1)??1，综上，a的取值范围是

(Ⅱ)有（Ⅰ）知，g(x)≤g(1)??1即lnx?x?1≤0.

1时，f(x)?(x?1)lnx?x?1?xlnx?(lnx?x?1)≤0； 当0＜x＜当x≥1时， f(x)?lnx?(xlnx?x?1)?lnx?x(lnx?1?1)x

?lnx?x(ln 所以(x?1)f(x)≥0 9.（C类）设函数f(x)?11??1)≥0 xx13x?(1?a)x2?4ax?24a，其中常数a>1 3(Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.

【解题思路】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围.

【解析】（I）f?(x)?x2?2(1?a)x?4a?(x?2)(x?2a) 由a?1知，当x?2时，f?(x)?0，故f(x)在区间(??,2)是增函数； 当2?x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数； 当x?2a时，f?(x)?0，故f(x)在区间(2a,??)是增函数.

综上，当a?1时，f(x)在区间(??,2)和(2a,??)是增函数，在区间(2,2a)是减函数. （II）由（I）知，当x?0时，f(x)在x?2a或x?0处取得最小值.

1f(2a)?(2a)3?(1?a)(2a)2?4a?2a?24a

34??a3?4a2?24af(0)?24a

3

?a?1,?a?1?4??由假设知 ?f(2a)?0, 即??a(a?3)(a?6)?0,解得 1

?3?f(0)?0,???24a?0.故a的取值范围是（1，6）

【例11】（C类）( 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与

所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧

上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂

的中点时，对城A和城B的总影

对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由. 【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值. 【解析】

解法一:（1）如图,由题意知 AC⊥BC,BC?400?x,y?224k?(0?x?20) 22x400?xC x A B

其中当x?102时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为y?（2）

49?(0?x?20) x2400?x249y?2?x400?x289?(?2x)18x4?8(400?x2)2,y'??3??22x(400?x)x3(400?x2)2,令

y'?0得

18x4?8(400?x2)2,所以x2?160,即x?410,当0?x?410时, 18x4?8(400?x2)2,即y'?0所以函数为单调减函数,当46?x?20时, 18x4?8(400?x2)2,即y'?0所以函数为单调增函数.所以当x?410时, 即当C点到城

A的距离为410时, 函数y?【课堂练习】

10．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，

左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为

49?(0?x?20)有最小值. x2400?x280?立方米，且l≥2r．假设该容3器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元． （Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．

【解题思路】先把文字语言转化成数学式子，再利用导数求最值. 【解析】（I）设容器的容积为V，

由题意知V??rl?24380??r,又V?, 334V??r38044203故l???r?(2?r) 22?r3r33r由于l?2r 因此0?r?2.

所以建造费用y?2?rl?3?4?rc?2?r?因此y?4?(c?2)r?22420(2?r)?3?4?r2c, 3r160?,0?r?2. r160?8?(c?2)320(r?),0?r?2. （II）由（I）得y'?8?(c?2)r?2?rr2c?2由于c?3,所以c?2?0, 当r?32020?0时,r?3. c?2c?2令38?(c?2)2022(r?m)(r?rm?m). ?m,则m?0 所以y'?2rc?29时， 2 （1）当0?m?2即c?当r=m时,y?=0;当r?(0,m)时,y?<0; 当r?(m,2)时,y?>0.所以r?m是函数y的极小值点，也是最小值点. （2）当m?2即3?c?9时， 2当r?(0,2)时,y'?0,函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当3?c?9时，建造费用最小时r?2; 2当c?209. 时，建造费用最小时r?3c?22巩固练习

基础训练（A类）

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