导数在函数中的应用（导数好题解析版）(5)

b2x2?2x?bf'(x)?2x??，

x?1x?1令g(x)?2x2?2x?b，则g(x)在??1??1??,???上递增，在??1,??上递减，

2??2??11g(x)min?g(?)???b.

2211当b?时，g(x)min???b?0，

22g(x)?2x2?2x?b?0在??1,???上恒成立.

?f'(x)?0,

即当b?1时,函数f(x)在定义域??1,???上单调递增. 2（II）分以下几种情形讨论：

1时函数f(x)无极值点. 212(x?)212， （2）当b?时，f'(x)?x?12（1）由（I）知当b?1???x???1,??时，f'(x)?0,

2???1?x???,???时，f'(x)?0,

?2??b?1时，函数f(x)在??1,???上无极值点. 2（3）当b??1?1?2b?1?1?2b1'时，解f(x)?0得两个不同解x1?，x2?.

222?1?1?2b?1?1?2b??1，x2???1，

22当b?0时，x1??x1???1,???,x2???1,???,

此时f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?当0?b??1?1?2b.

21时，x1,x2???1,???, 2f'(x)在??1,x1?,?x2,???都大于0，f'(x)在(x1,x2)上小于0 ，

此时f(x)有一个极大值点x1??1?1?2b?1?1?2b和一个极小值点x2?.

22?1?1?2b；

2综上可知，b?0时，f(x)在??1,???上有唯一的极小值点x2?0?b?1?1?1?2b?1?1?2b时，f(x)有一个极大值点x1?和一个极小值点x2?； 222b?1时，函数f(x)在??1,???上无极值点. 22（III） 当b??1时，f(x)?x?ln(x?1). 令h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1),则

3x3?(x?1)2h(x)?在?0,???上恒正，

x?1'?h(x)在?0,???上单调递增，当x??0,???时，恒有h(x)?h(0)?0.

即当x??0,???时，有x3?x2?ln(x?1)?0,ln(x?1)?x2?x3， 对任意正整数n，取x?1111得ln(?1)?2?3

nnn.n提高训练（B类）

1．曲线y?eＡ．【答案】D

x11122【解析】?y??(e)??e,曲线在点(4，e)处的切线斜率为e2，因此切线方程

221x21x2在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）

Ｂ．4e

2292e 2Ｃ．2e

2Ｄ．e

2为y?e? S?AOB?2.设函数f(x)?212e(x?4),则切线与坐标轴交点为A(2,0),B(0,?e2),所以： 21x?lnx(x?0),则y?f(x) （ ） 31|?e2|?2?e2.2

1e1B在区间(,1),(1,e)内均无零点.

e1C在区间(,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点.

e1D在区间(,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点.

eA在区间(,1),(1,e)内均有零点. 【答案】D

【解析】由题得f(x)?'11x?3??，令f'(x)?0得x?3；令f'(x)?0得0?x?3；3x3xf'(x)?0得x?3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,??)为增函数，

在点x?3处有极小值1?ln3?0；又f(1)?故选择D.

3. 若曲线f(x)?ax2?lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 【答案】???,0?

1e11,f?e???1?0,f()??1?0，33e3e1.因为存在垂直于y轴的切线，x1?故此时斜率为0，问题转化为x?0范围内导函数f?x??2ax?存在零点.

x1解法1 （图像法）再将之转化为g?x???2ax与h?x??存在交点.当a?0不符合题意，

x【解析】由题意该函数的定义域x?0，由f??x??2ax?当a?0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a?0如图2，此时正好有一个交点，故有a?0应填???,0?或是?a|a?0?.

解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程2ax?1?0在?0,???内有解，显然可得x

a??1????,0? 22x4.已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b，其中a?0.设两曲2线y?f(x),y?g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.

（1）若a?1，求b的值； （2）用a表示b，并求b的最大值.

【解析】（1）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0,y0)处的切线相同

f'(x)?x?2,g'(x)?3 x?12x0?2x0?3lnx0?b??2由题意知f(x0)?g(x0),f'(x0)?g'(x0) ，∴?

3?x0?2?x0??由x0?2?35得，x0?1，或x0??3（舍去） 则有b? x02（2）设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0,y0)处的切线相同

3a2f'(x)?x?2a,g'(x)?

x?122x?2ax?3alnx0?b00??2由题意知f(x0)?g(x0),f'(x0)?g'(x0) ，∴? 23a?x0?2a??x0?3a2由x0?2a?得，x0?a，或x0??3a（舍去）

x0125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna 22522令h(t)?t?3tlnt(t?0)，则h'(t)?2t(1?3lnt)，于是

2即有b?当2t(1?3lnt)?0，即0?t?e时，h'(t)?0； 当2t(1?3lnt)?0，即t?e时，h'(t)?0

2332故h(t)在(0,??)的最大值为h(e)?e3，故b的最大值为e3

22131313

2

5.（山东济南2011届高三二模数学（文））已知函数f(x)?mx?2nx?12x的减区间是

3(?2,2)．

⑴试求m、n的值；

⑵求过点A(1,?11)且与曲线y?f(x)相切的切线方程；

⑶过点A（1，t）是否存在与曲线y?f(x)相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】⑴ 由题意知：f?(x)?3mx2?4nx?12?0的解集为(?2,2)， 所以，-2和2为方程3mx2?4nx?12?0的根， 由韦达定理知 0??4n?12，即m=1，n=0． ,?4?3m3m323⑵ ∵f(x)?x?12x，∴f?(x)?3x?12，∵f(1)?1?12?1??11

当A为切点时，切线的斜率 k?f?(1)?3?12??9， ∴切线为y?11??9(x?1)，即9x?y?2?0；

2 当A不为切点时，设切点为P(x0,f(x0))，这时切线的斜率是k?f?(x0)?3x0?12，

23切线方程为y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，即y?3(x0 ?4)x?2x03223?3x0?1?0,(x0?1)2(2x0?1)?0，因为过点A（1，-11），?11?3(x0，∴2x0 ?4)?2x01147)， ，而x0?1为A点，即另一个切点为P(?,2281145∴ k?f?(?)?3??12??，

24445(x?1)，即 45x?4y?1?0 切线方程为 y?11??4∴ x0?1或x0??所以，过点A(1,?11)的切线为9x?y?2?0或45x?4y?1?0． ⑶ 存在满足条件的三条切线．

设点P(x0,f(x0))是曲线f(x)?x?12x的切点，

3x)??f(0x)(?x则在P点处的切线的方程为 y?f(0023x)y?3(x0?4)x?2x0即

2332?4)?2x0??2x0?3x0?12， 因为其过点A（1，t），所以，t?3(x0由于有三条切线，所以方程应有3个实根，

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