导数在函数中的应用（导数好题解析版）(4)

1.曲线y?x在点(1,?1)处的切线方程为 （ ） x?2?2?3 (A)y?x (B)y??3x?2 (C)y?2x (D)y??2x?1

【答案】 D 【解析】 y???2x?2?x?2k???2，∴切线方程为y?1??2(x?1)，，?(x?2)2(x?2)2(1?2)2即y??2x?1.

y?x2. 曲线

x?2在点（-1，-1）处的切线方程为 （ ）

（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-2 【答案】A

y??2【解析】

(x?2)2，所以k?y?x??1?2，故切线方程为y?2x?1．

3.若曲线

y?x2?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0，则 （ （A）a?1,b?1 (B) a??1,b?1 (C) a?1,b??1 (D) a??1,b??1 【答案】A

【解析】本题考查了导数的几何意义即求曲线上一点处的切线斜率. ∵

y??2x?ax?0?a，∴ a?1，(0,b)在切线x?y?1?0，∴ b?1

4．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ． 【答案】(1e,??)

【解析】由f?(x)?lnx?1?0可得x?1e,答案:. 5.若函数f(x)?x2?ax?1在x?1处取极值，则a?

【答案】3

【解析】f'(x)＝2x(x?1)?(x2?a)(x?1)2，f′(1)＝3?a4＝0 ? a＝3 ） 32f(x)?6x?3(a?2)x?2ax. 6.设函数

x,xxx?1，求实数a的值；

（1）若f(x)的两个极值点为12，且12（2）是否存在实数a，使得f(x)是(??,??)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由.

2?f(x)?18x?6(a?2)x?2a 【解析】

（1）由已知有

f?(x1)?f?(x2)?0，从而

x1x2?2a?118，所以a?9；

22??36(a?2)?4?18?2a?36(a?4)?0， （2）由

所以不存在实数a，使得f(x)是R上的单调函数. 7.设函数

f?x??sinx?cosx?x?1 , 0?x?2?，求函数

f?x?的单调区间与极值.

【解析】

解:由f(x)?sinx?cosx?x?1,0?x?2?,知f?(x)?1?2sin(x?).4

令f?(x)?0，从而sin(x???4)??23?,得x??或x?,当x变化时，f?(x),f(x)变化情况如下表： 22

因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，?）与（3?，2?），23?3?3?单调递增区间是（?，），极小值为f()=，极大值为f(?)=??2222

8．设函数f(x)?ln(x?a)?x,

（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2e． 21?2x， x?a3依题意有f?(?1)?0，故a?．

2【解析】（Ⅰ）f?(x)?2x2?3x?1(2x?1)(x?1)?从而f?(x)?． 33x?x?223?3?f(x)的定义域为??，?∞?，当??x??1时，f?(x)?0；

2?2?当?1?x??当x??1时，f?(x)?0； 21时，f?(x)?0． 2?3?2??1??2????1??单调减少． 2?从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，2x2?2ax?1?∞)，f?(x)?（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，．

x?a方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8． （ⅰ）若??0，即?2?a?（ⅱ）若??0，则a?222，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值．

2或a??2．

(2x?1)2若a?2，x?(?2． ，∞?)，f?(x)?x?2??2??22???∞?当x??时，f?(x)?0，当x???2，???????2，?时，f(x)?0， 22????所以f(x)无极值．

(2x?1)2若a??2，x?(2，∞?0，f(x)也无极值． ?)，f?(x)?x?2（ⅲ）若??0，即a?2或a??2，则2x2?2ax?1?0有两个不同的实根

?a?a2?2?a?a2?2x1?，x2?．

22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)在的定义域内没有零点，故f(x)无极值．

当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值

判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．

综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞?)．

f(x)的极值之和为

1ef(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22?ln?a2?1?1?ln2?ln．

229．设函数f(x)?ax2?blnx，其中ab?0．

证明：当ab?0时，函数f(x)没有极值点；当ab?0时，函数f(x)有且只有一个极

值点，并求出极值．

??)． 【解析】因为f(x)?ax2?blnx，ab?0，所以f(x)的定义域为(0，

b2ax2?bf?(x)?2ax??．

xx??)上单调递增； 当ab?0时，如果a?0，b?0，f?(x)?0，f(x)在(0，

??)上单调递减． 如果a?0，b?0，f?(x)?0，f(x)在(0，所以当ab?0，函数f(x)没有极值点． 当ab?0时，

?b??b?2a?x????x???2a2a???

f?(x)??x令f?(x)?0，

得x1???bb?(0，??)（舍去），x2???(0,??),， 2a2a当a?0，b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x ?b0，???2a???? ?b? 2a??b?，?? ????2a??f?(x) f(x) ? ↘ 0 极小值 ? ↗ 从上表可看出，

函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为f?????b?b??b????1?ln?????． ??2a?2??2a??

当a?0，b?0时，f?(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x)

?b0，???2a?? ↘ ??? ?0 b? 2a??b??????2a，? ??? ↗ 极大值 从上表可看出，

函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为f?????b?b??b????1?ln?????． ??2a?2??2a??

综上所述，

当ab?0时，函数f(x)没有极值点； 当ab?0时，

若a?0，b?0时，函数f(x)有且只有一个极小值点，极小值为?b??b?? 1?ln????．?2??2a??b??b?? 1?ln????．

2?2a????

若a?0，b?0时，函数f(x)有且只有一个极大值点，极大值为?10.设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b≠0. (Ⅰ)当b>

1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性； 2（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln((?1)?21n11?)都成立. 23nn【解析】(I) 函数f(x)?x?bln(x?1)的定义域为??1,???.

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库导数在函数中的应用（导数好题解析版）(4)在线全文阅读。