导数在函数中的应用（导数好题解析版）

第十讲 导数的应用

教学目标 教学重点及相应策略 分类总结. 导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题. 教学难点及相应策略 熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三. 掌握典型例题的典型方法. 在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知教学方法建议 识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法. A类 选材程度及数量 B类 C类 （ 5 ）道 （ 3 ）道 （ 3 ）道 （ 3 ）道 （ 10 ）道 （ 10 ）道 课堂精讲例题 （ 3 ）道 搭配课堂训练题 （ 3 ）道 课后作业 （ 10 ）道 掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法 导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行知识梳理

1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减.如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间上是常数函数.

注：函数y?f(x)在（a,b）内单调递增，则f?(x)?0，f?(x)?0是y?f(x)在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.

2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．

xf(x0) 是极大（小）值的方法是：

一般地，当函数 y?f(x) 在点0处连续时，判断

（1）如果在（2）如果在

x0附近的左侧f'(x)?0 ，右侧f'(x)?0，那么f(x0)是极大值． x0附近的左侧f'(x)?0 ，右侧f'(x)?0，那么f(x0) 是极小值．

注：导数为0的点不一定是极值点

知识点一：导数与函数的单调性

方法归纳：

在某个区间（a,b）内，如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果

f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减.如果f?(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间上是常数函数.

注：函数y?f(x)在（a,b）内单调递增，则f?(x)?0，f?(x)?0是y?f(x)在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.

【例1】（B类）（2011·朝阳期末）已知函数f(x)?x3?bx2?cx?d的图象过点P(0, 2)，且在点M(?1, f(?1))处的切线方程为6x?y?7?0.

（Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y?f(x)的单调区间.

【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数f(x)在区间[a,b]上递增可得：

f'(x)?0；函数f(x)在区间[a,b]上递减可得：f'(x)?0.

【解析】（Ⅰ）由f(x)的图象经过P(0, 2)，知d?2，

所以f(x)?x?bx?cx?2. 所以f?(x)?3x?2bx?c.

由在M(?1, f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0，

232(?1)?6. 知?6?f(?1)?7?0，即f(?1)?1，f′?3?2b?c?6,?2b?c?3,所以? 即?解得b?c??3.

?1?b?c?2?1.b?c?0.??

故所求的解析式是f(x)?x?3x?3x?2.

2（Ⅱ）因为f?(x)?3x?6x?3，

32令3x?6x?3?0，即x?2x?1?0， 解得 x1?1?2，x2?1?2.

当x?1?2或x?1?2时，f'(x)?0，

22当1?2?x?1?2时，f'(x)?0，

故f(x)?x3?3x2?3x?2在(??,1?2]内是增函数，在[1?2,1?2]内是减函数，在[1?2,??)内是增函数.

【例2】（A类）若f(x)?ax3?x在区间[－1,1]上单调递增，求a的取值范围.

【解题思路】利用函数f(x)在区间[a,b]上递增可得：f'(x)?0；函数f(x)在区间[a,b]上递减可得：f'(x)?0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解. 【解析】?f?(x)?3ax2?1又f(x)在区间[－1,1]上单调递增

?f?(x)?3ax2?1?0在[－1,1]上恒成立 即a??1在x? [－1,1]时恒成立. 3x211?a?? 故a的取值范围为[?,??]

33a【例3】（B类）已知函数f(x)?lnx,g(x)?(a?0),设F(x)?f(x)?g(x)．

x（Ⅰ）求函数F(x)的单调区间；

（Ⅱ）若以函数y?F(x)(x?(0,3])图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率

k?1恒成立，求实数a的最小值； 2【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.

【解析】（I）F?x??f?x??g?x??lnx?a1ax?a?x?0?，F'?x???2?2?x?0? xxxx∵a?0，由F'?x??0?x??a,???，∴F?x?在?a,???上单调递增.

由F'?x??0?x??0,a?，∴F?x?在?0,a?上单调递减.

∴F?x?的单调递减区间为?0,a?，单调递增区间为?a,???. （II）F'?x??x?a0?x?3?， 2?xk?F'?x0??x0?a?12?a??x?x0?x?3恒成立 ???00??x022??max121x0?x0取得最大值. 22当x0?1时，?∴a?

11，∴amin=. 22【课堂练习】

1.（B类）（山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题（数学文）） 已知函数曲线在点M处的切线恰好与直线x?9y?0垂直. f(x)?ax3?bx2的图像经过点M(1,4)， （Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间[m,m?1]上单调递增，求m的取值范围.

【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间[m,m?1]上单调递增，即[m,m?1] 为函数的递增区间的子集.

【解析】（Ⅰ）f(x)?ax?bx的图象经过点M(1,4) ∴a?b?4

2 ∵f?(x)?3ax?2bx，∴f?(1)?3a?2b

32由已知条件知f?(1)?(?)??1 即3a?2b?9

19∴解??a?1?a?b?4得：?

?b?3?3a?2b?9322（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?x?3x，f?(x)?3x?6x 令f?(x)?3x?6x?0则x??2或x?0

∵函数f(x)在区间[m,m?1]上单调递增 ∴[m,m?1]?(??,?2]?[0,??) ∴m?0或m?1??2 即m?0或m??3 2．（B类）设函数g(x)?21212x?ax?bx(a,b?R)，在其图象上一点P（x，y）处的切32线的斜率记为f(x).

?2和4,求f(x)的表达式； （1）若方程f(x)?0有两个实根分别为 （2）若g(x)在区间[?1,3]上是单调递减函数,求a?b的最小值.

【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.

22【解析】（1）根据导数的几何意义知f(x)?g?(x)?x2?ax?b

由已知-2、4是方程x2?ax?b?0的两个实根 由韦达定理，???2?4??a?a??2??,f(x)?x2?2x?8

??2?4??b?b?8 （2）g(x)在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有

f(x)?g?(x)?x2?ax?b?0,即f(x)?x2?ax?b?0在[?1,3]恒成立?f(?1)?0?a?b?1这只需满足?即可,也即??f(3)?0?b?3a?9?a?b?122而a?b可视为平面区域内的点到原点距离的平方,?b?3a?9?其中点（—2，3）距离原点最近， 所以当?

?a??2时,a2?b2有最小值13

?b?312x?mlnx?(m?1)x，m?R．当 m?0 时，讨论函数 f(x) 23.（A类）已知函数 f(x)?的单调性.

【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论

mx2?(m?1)x?m(x?1)(x?m)?【解析】∵f?(x)?x??(m?1)?，

xxx∴（1）当?1?m?0时，若x??0,?m?时,f?(x)?0,f(x)为增函数；

x???m,1?时,f?(x)?0,f(x)为减函数； x??1,???时,f?(x)?0,f(x)为增函数．

（2）当m??1时，x??0,1?时,f?(x)?0,f(x)为增函数；

x??1,?m?时,f?(x)?0,f(x)为减函数； x???m,???时,f?(x)?0,f(x)为增函数．

知识点二: 导数与函数的极值最值

方法归纳：

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