量子力学课件第三章(5)

?a1????a2??.?????, [3.87]

?.??.???a???n?相应的左矢可以表示成行矩阵：

* ??a1?a2*...an*?, [3.88]

所有的左矢集合构成了另外一个矢量空间 — 所谓的对偶空间。

允许把左矢按分开的实体处理给我们提供了一个有力简洁的工具（我将不会在本书里深究）。举个例子来说，假如

?是一个归一化矢量，算符：

P??? [3.89]

?将会从任意其它矢量中选出沿

?方向的部分：

P?????；

?我们称它为向

?张成的一维子空间的投影算符。如果?en?是一分立的正交归一基，

emen??mn, [3.90]

则有

?ennen?1 [3.91]

（恒等算符）。如果我们把这个算符作用于任意一个矢量式：

?上，得到?用基?en?的展开

?ennen???. [3.92]

类似有，假如ez则有

??是一狄拉克正交归一的连续基，

ezez'??(z?z'), [3.93]

?ezezdz?1. [3.94]

公式3.91和3.94是表达完备性最整洁的方式。 ?本征值，描述它的本征矢量。 ??P?。求出P习题3.21 证明投影算符是等幂的：P 习题3.22 考虑由正交归一基1，2，3张成的三维矢量空间。右矢?和?由下式给

定

2??i1?22?i3，??i1?23。

（a） 给出（b） 求出

。 ?和?（以对偶基1,2,3表示的）

??和??并证实?????。

?里的9个矩阵元，并写出矩阵A。它是厄密矩阵

*A??（c） 在这个基中，求出算符?么？

习题3.23一个两-能级体系的哈密顿为：

??E(11?22?12?21)， H这里1，2是正交归一基，E是量纲为能量的一个实数。求出它的本征值和归一化的本

?的矩阵H是什么？ 征矢（用1和2的线性迭加）。相应于这个基表示H?有一组完备的正交归一本征矢： 习题3.24 设算符QQen?qnen?

(n?1,2,3,...).

?可以被写成它的谱分解形式： 证明Q??qee. Q?nnnn提示：一个算符是由它对所有可能矢量的作用来表征的，因此你需要证明的是，对于任意矢量

?来说，有：

??Q????qnenen??.

?n??

第三章补充习题

习题3.25 勒让德多项式。用Gram-Schmidt方法（习题A.4）在区间?1?x?1里来正交归一化函数1，x, x, x。你可能会认出这些结果 — (除了归一化外)它们是勒让德多项式（表4.1）。30 习题3.26 一个反厄密算符等于它的负的厄密共轭：

23????Q?. [3.95] Q（a） 证明一个反厄密算符的期望值是个虚数。

（b） 证明两个厄密算符的对易子是反厄密的。那么两个反厄密算符的对易子如何？ 习题3.27 连续测量。一个算符?A表示可观测量A，它的两个归一化本征态是?1和?2，分

?表示可观测量B，它的两个归一化本征态是?和?，分别对别对应本征值a1和a2。算符B12应本征值b1和b2。两组本征态之间有关系：

?1?(3?1?4?2)/5, ?2?(4?1?3?2)/ 5.（a） 测量可观测量A，所得结果为a1。那么在测量之后（瞬时）体系处在什么态？ （b） 如果现在再测量B，可能的结果是什么？它们出现的几率是多少？

（c） 在恰好测出B之后，再次测量A。那么结果为a1的几率是多少？（注意如果我已经

告诉你测量B所得结果，对不同的测量B所得结果，本问的答案将是不同的。）

**习题3.28 对无限深方势阱第n定态求其动量空间的波函数?n?(p,t)。作为p的函数，

2画出?1(p,t)和?2(p,t)（特别注意点p??n??/a）。用?n(p,t)来计算p的期望值。

22并把答案和习题2.4比较。 习题3.29 考虑下面的波函数： 勒让德那时不知道最方便的选择是什么；他选择普乘常数使得在x不幸的选择。

30

?1时多项式值为1，我们仍用他这个

?1ei2?x/?,?n??x?n?,? ?(x,0)??2???0, 其它地方,?这里n是某个正整数。这个函数在区间?n??x?n?上是纯正弦的（波长为?），但是它的动量仍然有一个分布范围，因为振荡没有伸展到无限远处。求出动量空间波函数?(p,0)，

画出?(x,0)和?(p,0)，求出峰宽wx和wp （主峰两边零点之间的宽度）。并考虑当

22n??时每一个宽度会怎样, 用wx和wp来估计?x和?p，验证不确定原理是否满足。提

醒：如果你尝试计算?p，你将会很意外。你能够分析问题所在么？ 习题3.30 假设：

?(x,0)?A, 22x?a式中A和a是常数。

（a） 归一化?(x,0)，确定A的值。

2（b） 求出x，x和?x（在t?0时刻）。

（c） 求出动量空间的波函数?(p,0)，并验证它是归一化的。

2（d） 用?(p,0)来计算p，p和?p（在t?0时刻）。

（e） 对这个态的验证不确定原理。 *问题3.31 Virial定理。利用3.71式证明：

ddVxp?2T?x, [3.96] dtdx式中T是动能（H?T?V）。对定态上式的左边为是0（为什么？）所以有：

dV. [3.97] dx这个称为Virial定理。用它来证明对谐振子的定态有T?V，并验证这与你在习题2.11

2T?x和2.12里得到的结果是一致的。

习题3.32在一个关于能量-时间不确定原理的有趣版本里

31

?t??/?，这里?是?(x,t)演

变为与?(x,0)相正交的状所需要的时间。用某个（任意的）势的两个（正交归一的）定态波函数的均匀迭加：?(x,0)?(1/2)[?1(x)??2(x)]，验证这个结论。 **习题3.33 以谐振子（正交归一的）定态为基，求矩阵元nxn'和npn'（2.67式）。你已在习题2.12里计算过对角元素（n?n'）；用同样方法计算更一般的情况。构造出相应的（无限）矩阵，X和P。证明(1/2m)P?(m?/2)X?H在这个基中是对角的。你预期它的对角元素是什么？部分答案如下：

222nxn'??(n'?n,n'?1?n?n',n?1). [3.98] 2m? ??或 习题3.34 一个谐振子处于这样的态，当对其测量能量时所得结果必是(1/2)(3/2)??其中之一，并且得到两者的几率相等。在此态中，p的可能的最大值是多少呢？

31

其证明参见Lev Vaidman， Am. J. Phys. 60,182(1992)。

如果假设在t?0时刻为这个可能的最大值， ?(x,t)是什么？ **问题3.35 谐振子的相干态。在谐振子定态中（n??n(x)，2.67式）仅n?0的态符合不确定原理的极限（?x?p??/2）；一般情况下，?x?p?(2n?1)?/2，如你在习题2.12求出的那样。但是某些线性迭加（所谓的相干态）也会减小不确定原理中的积。它们是降阶算符的本征函数：32

a?????,

（这里本征值?可以是任何复数）。 （a） 对态

?计算x，x2，p，p2。提示：利用例题2.5中的方法，并记住a?是a?的厄密共轭。不要假定?是实数。

（b） 求出?x和?p；证明?x?p??/2。

（c） 像其它的波函数一样，相干态可以用能量本征态展开：

???cnn.

n?0?证明展开系数是：

cn?（d） 由归一化

?nn!2c0.

?确定c0。答案：exp(??/2)。

n?e?iEnt/?（e） 现在加入时间因子：

n,

证明

?(t)仍然是a?的本征态，但是本征值随时间变化：?(t)?e?iwt?。

因此一个相干态维持相干，并继续减小不确定原理中的积。 （f） 基态（n?0）本身是相干态吗？如果是，它的本征值是什么？

习题3.36扩展的不确定原理。33广义不确定原理（3.62式）指出：

?A2?B2??C?2,

???i?A?,B??。 其中C??（ａ）证明它可以强化为

141?C?2??D?2?, [3.99］ ?4???BA??AB???2?A??B?。提示：保留3.60式中的实部项Re(z)。 其中D??0；不幸（ｂ）当B?A时验证3.99（在这种情况下标准的不确定原理是平庸的，因为C ?A?B?22的是扩展的不确定原理也没多少帮助）。 习题3.37 某个三-能级体系的哈密顿的矩阵表示为

?a0b???H??0c0?,

?b0a??? 32

33

升阶算符没有可归一化的本征函数。

一个有趣的评注及参考文献, 参见R.R. Puri, Phys. Rev. A 49,2178(1994)。

其中a，b和c都是实数。 （a） 如果体系的初始态是

?0????(0)??1?,

?0???求 ?(t) （b）如果初始态是

?0????(0)??0?,

?1???求 ?(t)

习题3.38某个三-能级体系的哈密顿的矩阵表示为

?100???H????020?

?002???另外两个可观测量A和B的矩阵表示为

?010??200?????A???100?, B???001?，

?002??010?????式中?，?和?都是正实数。

（a） 求H，A和B的本征值和归一化的本征函数。

（b） 假设体系初始态为

?c1????(0)??c2?,

?c??3?其中c1?c2?c3222?1，求H，A和B的期望值（在t?0时刻）。

（c）?(t)是什么？如果你测量这个态的能量（在t时刻），可能会得到什么值，它们的几率是多少？ 对A和B回答同样的问题。

**习题3.39

（a）一个函数f(x)可以作泰勒展开,证明

?0?f(x?x0)?eipxf(x)

??为空间平移生成元。注意：指数算（其中x0是任意常数距离）。由于这个原因，称p符是由一个幂级数定义的：

????12?Q?2??13!?Q?3?? eQ?1?Q（b）如果?(x,t)满足(含时)薛定谔方程，证明

?(x,t?t0)?e?iHt0??(x,t) ??称为时间平移生成元。 (式中t0为任意时间常数)；?H?(c) 证明力学量Q(x,p,t)在t?t0时刻的期望值可以写作：34

Qt?t0???(x,t)eiHt0/??Q(x,p,t?t0)e???iHt0/???(x,t).

用这个公式重新得到3.71式。提示：设t0?dt,然后展开到dt的一阶。 **习题3.40

(a） 对自由粒子，在动量空间中写出其含时薛定谔方程，并求解。答案

exp(?ip2t/2m?)?(p,0)。

(b) 求运动高斯波包（习题2.43）的?(p,0)，并构造?(p,t)。给出?(p,t)，注意到它是不依赖时间的。

2(c) 通过求涉及?的积分，计算p和p，然后将你的答案和习题2.43比较

2(d ) 证明H?p2/2m?H0（这里脚标0表示高斯稳态），并讨论结果。

34

特别是，如果我们令t?0，并去掉t0的下标，

?1?????(x,t), Q(t)??(x,t)Q?(x,t)??(x,0)UQU??exp(?iHt?/?)。这表明在计算Q?期待值时，就像我们已经做过的那样，可以把Q?夹在?*(x,t)和式中U?1???夹在?*(x,0)和?(x,0)之间，让算符?(x,t)之间（让波函数载有对时间的依赖性），也可以把UQU载有对时间的依赖性。前者称为薛定鄂绘景，后者称为海森堡绘景。

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